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La fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp(x) ou eˣ, est l’unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0. Toujours strictement positive et croissante, elle transforme les sommes en produits : eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ.
Mis à jour le 4 min de lecture
L’exponentielle est la fonction de la croissance proportionnelle : plus une quantité est grande, plus elle augmente vite. Elle décrit les intérêts composés en continu, la multiplication des bactéries, la propagation d’une épidémie à ses débuts ou, avec un signe moins, la décroissance radioactive et le refroidissement. Elle est étudiée en France en classe de première, et sa réciproque est le logarithme népérien.
Les règles de calcul
Elles sont identiques à celles des puissances.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Valeur en 0 | e⁰ = 1 |
| Valeur en 1 | e¹ = e ≈ 2,718 |
| Somme | eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ |
| Opposé | e⁻ᵃ = 1 / eᵃ |
| Différence | eᵃ⁻ᵇ = eᵃ / eᵇ |
| Puissance | (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ |
| Lien avec ln | e^(ln x) = x (x > 0) et ln(eˣ) = x |
La courbe et les variations
eˣ > 0pour tout réel x : la courbe est entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.- La fonction est strictement croissante sur ℝ, puisque sa dérivée
eˣest positive. - La courbe passe par (0 ; 1) et (1 ; e). La tangente en 0 a pour équation
y = x + 1, et la courbe est toujours au-dessus :eˣ ≥ 1 + x. - Elle est convexe (voir la convexité).
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| eˣ (≈) | 0,050 | 0,135 | 0,368 | 1 | 2,718 | 7,389 | 20,09 |
Les limites
| Limite | Valeur |
|---|---|
eˣ quand x → +∞ | +∞ |
eˣ quand x → −∞ | 0 (asymptote horizontale y = 0) |
eˣ / x quand x → +∞ | +∞ |
x eˣ quand x → −∞ | 0 |
(eˣ − 1) / x quand x → 0 | 1 |
Les croissances comparées
L’exponentielle l’emporte sur toute puissance : pour tout entier n, eˣ / xⁿ tend vers +∞ quand x tend vers +∞. Même x¹⁰⁰ finit par être dépassé. Voir les limites de fonctions.
Dérivée des fonctions composées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
eˣ | eˣ |
e^(kx) | k e^(kx) |
e^(u(x)) | u′(x) e^(u(x)) |
Résoudre des équations et inéquations
L’exponentielle est strictement croissante, donc :
eᵃ = eᵇéquivaut àa = b;eᵃ < eᵇéquivaut àa < b.
eˣ = −2 n’a aucune solution, car une exponentielle est toujours positive.
Les modèles exponentiels
Les fonctions f(t) = C e^(kt) sont les solutions de l'équation différentielle y′ = ky : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité.
| Situation | Modèle | Signe de k |
|---|---|---|
| Croissance d’une population de bactéries | N(t) = N₀ e^(kt) | k > 0 |
| Désintégration radioactive | N(t) = N₀ e^(−λt) | négatif |
| Capital placé en intérêts continus | C(t) = C₀ e^(rt) | r > 0 |
| Refroidissement (écart à l’ambiante) | θ(t) = θ₀ e^(−kt) | négatif |
Pour la radioactivité, la demi-vie vaut ln 2 / λ (voir la radioactivité).
Les exponentielles de base a
Pour a > 0, aˣ = e^(x ln a). Ainsi 2ˣ = e^(x ln 2). Elles croissent si a > 1, décroissent si 0 < a < 1. Les suites géométriques u₀ × qⁿ en sont la version discrète.
Erreurs fréquentes
- Écrire
eᵃ⁺ᵇ = eᵃ + eᵇ: c’est un produit. - Croire que
eˣpeut être négatif ou nul. - Oublier u′ en dérivant
e^(u(x)). - Confondre
e^(x²)et(eˣ)² = e^(2x).
Questions fréquentes
Pourquoi la dérivée de eˣ est-elle eˣ ?
C’est la définition même de la fonction exponentielle : l’unique fonction égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Le nombre e est choisi précisément pour cela.
Quelle est la différence entre exponentielle et puissance ?
Dans une puissance x², la variable est en base ; dans une exponentielle 2ˣ ou eˣ, elle est en exposant. L’exponentielle finit toujours par croître beaucoup plus vite.
Comment résoudre eˣ = a ?
Si a > 0, la solution unique est x = ln a. Si a ≤ 0, il n’y a pas de solution.
Que signifie « croissance exponentielle » ?
Une croissance où la quantité est multipliée par un même facteur à intervalles de temps égaux : elle double, puis double encore, etc. Elle semble lente au début puis explose.