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Les équations différentielles
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction, reliée à ses dérivées. La plus simple, y′ = ay, a pour solutions les fonctions y(x) = Ce^(ax) ; une condition initiale fixe la constante C.
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Les lois de la nature s’expriment rarement par une formule directe ; elles décrivent plutôt comment une grandeur varie. La vitesse de refroidissement d’un café dépend de l’écart de température avec la pièce ; l’accélération d’un objet dépend des forces qui s’exercent sur lui (lois de Newton). Traduire ces lois donne des équations différentielles, dont la résolution permet de prévoir l’évolution du système. Introduites par Newton et Leibniz à la fin du XVIIe siècle, elles sont au cœur de la physique, de la biologie, de l’économie et de l’ingénierie.
Le premier exemple : y′ = f(x)
L’équation y′ = f(x) revient à chercher une primitive de f : les solutions sont y = F(x) + C, avec F une primitive (voir les intégrales).
L’équation y′ = ay
Théorème : les solutions sur ℝ de y′ = ay (a réel) sont les fonctions y(x) = C e^(ax), où C est une constante réelle.
Avec la condition y(0) = y₀, la solution unique est y(x) = y₀ e^(ax).
C’est la traduction mathématique d’une loi simple : la vitesse de variation est proportionnelle à la quantité. D’où l’omniprésence de la fonction exponentielle.
| Phénomène | Équation | Solution |
|---|---|---|
| Désintégration radioactive | N′ = −λN | N(t) = N₀ e^(−λt) |
| Croissance bactérienne (sans limite de ressources) | N′ = kN | N(t) = N₀ e^(kt) |
| Capital à intérêts continus au taux r | C′ = rC | C(t) = C₀ e^(rt) |
| Décharge d’un condensateur dans une résistance | u′ = −u/(RC) | u(t) = U₀ e^(−t/RC) |
Pour la radioactivité, la demi-vie est t½ = ln 2 / λ (voir la radioactivité).
L’équation y′ = ay + b
Théorème : pour a ≠ 0, les solutions de y′ = ay + b sont y(x) = C e^(ax) − b/a.
Méthode :
- Chercher une solution constante :
0 = ay + b, soity = −b/a. - Ajouter les solutions de l’équation homogène
y′ = ay:C e^(ax). - Déterminer C avec la condition initiale.
Au-delà : quelques équations célèbres
| Équation | Domaine | Comportement |
|---|---|---|
y′ = ky(1 − y/K) (logistique de Verhulst, 1838) | Population limitée par les ressources | Croissance en S vers la capacité K |
y″ = −ω²y | Ressort, pendule aux petites oscillations | Oscillations A cos(ωt) + B sin(ωt) |
m x″ = F | Mécanique de Newton | Mouvement selon les forces |
| Équations de Lotka-Volterra (années 1920) | Proies et prédateurs | Cycles de populations |
| Équation de la chaleur, d’onde, de Navier-Stokes | Physique des milieux continus (équations aux dérivées partielles) | Diffusion, propagation, écoulements |
Les équations de Navier-Stokes, qui décrivent les fluides, font l’objet d’un des sept problèmes du millénaire du Clay Institute : on ne sait pas démontrer que leurs solutions restent toujours régulières en trois dimensions.
Quand on ne sait pas résoudre : les méthodes numériques
La plupart des équations différentielles n’ont pas de solution explicite. On les résout numériquement : la méthode d’Euler (XVIIIe siècle) remplace la courbe par une succession de petits segments de tangente :
y(x + h) ≈ y(x) + h × y′(x).
Pour y′ = y avec y(0) = 1 et un pas h = 0,1, on obtient y(1) ≈ 1,1¹⁰ ≈ 2,594, proche de e ≈ 2,718 ; un pas plus petit améliore la précision. Les prévisions météorologiques, les simulations de crash-tests ou les trajectoires spatiales reposent sur des versions perfectionnées de ce principe.
Erreurs fréquentes
- Oublier la constante C : une équation différentielle a une infinité de solutions sans condition initiale.
- Confondre
y′ = ayety = ax. - Se tromper de signe dans la solution particulière : pour
y′ = ay + b, c’est−b/a. - Appliquer la condition initiale avant d’ajouter la solution constante.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir ses dérivées. Elle exprime comment une grandeur évolue en fonction de son état.
Comment résoudre y′ = ay + b ?
On trouve la solution constante −b/a, on lui ajoute Ce^(ax), puis on détermine C avec la condition initiale.
Pourquoi l’exponentielle apparaît-elle partout ?
Parce que c’est la seule fonction proportionnelle à sa propre dérivée : elle résout y′ = ay, qui modélise tous les phénomènes où la variation est proportionnelle à la quantité.
Toutes les équations différentielles ont-elles une solution ?
Sous des hypothèses de régularité assez générales (théorème de Cauchy-Lipschitz), une solution existe et est unique avec une condition initiale, au moins sur un petit intervalle. Mais elle n’a souvent pas de formule explicite.