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La fonction cube
La fonction cube associe à tout réel x son cube x³. Elle est strictement croissante sur ℝ, impaire (sa courbe est symétrique par rapport à l’origine) et change de concavité en 0. L’équation x³ = k a toujours une seule solution.
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La fonction cube calcule par exemple le volume d’un cube en fonction de la longueur de son arête : doubler l’arête multiplie le volume par 8. Elle complète la fonction carré parmi les fonctions de référence étudiées en seconde en France, et se distingue d’elle sur un point essentiel : elle est croissante sur tout ℝ.
Tableau de valeurs
| x | −2 | −1,5 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x³ | −8 | −3,375 | −1 | −0,125 | 0 | 0,125 | 1 | 3,375 | 8 |
Contrairement au carré, le cube conserve le signe : le cube d’un négatif est négatif, (−2)³ = −8.
Les propriétés
Imparité
f(−x) = (−x)³ = −x³ = −f(x) : la fonction cube est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine O.
Sens de variation
La fonction cube est strictement croissante sur ℝ : si a < b, alors a³ < b³. Elle n’a ni maximum ni minimum.
Conséquence : a < b équivaut à a³ < b³. Passer au cube conserve l’ordre, sans condition de signe — ce qui n’est pas vrai pour le carré (voir la fonction carré).
Dérivée et forme de la courbe
f′(x) = 3x², positive, et nulle seulement en 0 : la tangente en O est horizontale (l’axe des abscisses), sans que la fonction cesse de croître.- La courbe traverse sa tangente en O : c’est un point d’inflexion. Elle est concave sur
]−∞ ; 0]et convexe sur[0 ; +∞[(voir la convexité).
Cet exemple montre qu’une dérivée nulle en un point n’implique pas un maximum ou un minimum (voir les dérivées).
Limites
x³ tend vers +∞ quand x → +∞ et vers −∞ quand x → −∞.
Résoudre x³ = k
Pour tout réel k, l’équation x³ = k a une unique solution, la racine cubique de k, notée ∛k ou k^(1/3).
| Équation | Solution |
|---|---|
x³ = 8 | x = 2 |
x³ = −27 | x = −3 |
x³ = 10 | x = ∛10 ≈ 2,154 |
x³ = 0 | x = 0 |
Contrairement à la racine carrée, la racine cubique d’un nombre négatif existe : ∛(−8) = −2. Voir la racine carrée pour les racines n-ièmes.
Inéquations
Comme la fonction est croissante : x³ < k équivaut à x < ∛k.
Positions relatives : x, x² et x³
| Intervalle | Ordre |
|---|---|
| x > 1 | x < x² < x³ |
| 0 < x < 1 | x³ < x² < x |
| −1 < x < 0 | x < x³ < 0 < x² |
| x < −1 | x³ < x < 0 < x² |
Les courbes de y = x, y = x² et y = x³ se coupent en (0 ; 0) et (1 ; 1) ; celles de y = x et y = x³ aussi en (−1 ; −1).
Le cube dans la vie courante
- Volumes : un cube d’arête a a un volume
a³; doubler toutes les dimensions d’un objet multiplie son volume (et sa masse) par 8 (voir les aires et volumes). - Lois d’échelle : la surface varie comme le carré, le volume comme le cube. C’est pourquoi un animal deux fois plus grand a huit fois plus de masse mais seulement quatre fois plus de surface de peau.
- Troisième loi de Kepler : le carré de la période d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite (voir le système solaire).
Erreurs fréquentes
- Écrire
(−2)³ = 8: c’est −8. - Confondre
x³et3x:2³ = 8,3 × 2 = 6. - Croire que x³ = k a deux solutions comme pour le carré.
- Penser qu’une tangente horizontale signifie un extremum.
Questions fréquentes
La fonction cube est-elle croissante ?
Oui, strictement croissante sur ℝ tout entier, contrairement à la fonction carré.
Quelle est la dérivée de x³ ?
3x², d’après la formule (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹.
Peut-on calculer la racine cubique d’un nombre négatif ?
Oui. ∛(−125) = −5, car (−5)³ = −125.
La fonction cube est-elle paire ou impaire ?
Impaire : (−x)³ = −x³. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.