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Les paradoxes de Zénon
Zénon d’Élée prétendait prouver que le mouvement est impossible : Achille ne rattraperait jamais une tortue. La notion de série convergente montre qu’une infinité d’étapes peut durer un temps fini.
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Au Ve siècle av. J.-C., le philosophe grec Zénon d’Élée, disciple de Parménide, formule une série d’arguments qui semblent démontrer que le mouvement est une illusion. Ces paradoxes ont occupé les philosophes pendant plus de deux mille ans. Ils posent une question profonde : peut-on parcourir une infinité d’étapes ? La réponse mathématique moderne passe par les limites et les séries.
Les quatre paradoxes du mouvement
| Paradoxe | Énoncé résumé |
|---|---|
| La dichotomie | Pour aller d’un point à un autre, il faut d’abord parcourir la moitié du trajet, puis la moitié du reste, et ainsi de suite : on n’arrive jamais |
| Achille et la tortue | Achille, le plus rapide des coureurs, ne rattrapera jamais une tortue partie avant lui |
| La flèche | À chaque instant, une flèche en vol occupe un espace égal à elle-même : elle est immobile. Donc elle ne bouge jamais |
| Le stade | Deux rangées de corps se croisant en sens inverse : le temps mis semblerait être à la fois une durée et sa moitié |
Achille et la tortue
Achille court dix fois plus vite que la tortue, qui part avec 100 mètres d’avance. Quand Achille arrive au point de départ de la tortue, celle-ci a avancé de 10 m. Quand il parcourt ces 10 m, elle a fait 1 m. Puis 0,1 m, puis 0,01 m… Chaque fois qu’Achille atteint la position précédente de la tortue, elle l’a quittée. Il y a une infinité d’étapes : Achille ne la rattraperait donc jamais.
La réponse mathématique
La distance totale parcourue par Achille avant de rejoindre la tortue est la somme d’une infinité de termes :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 111,111… = 1 000 / 9 ≈ 111,1 m
C’est une série géométrique de premier terme 100 et de raison 1/10. Sa somme est finie :
S = a / (1 − q) pour une raison q comprise entre −1 et 1, soit ici 100 / (1 − 0,1) = 111,1…
Si Achille court à 10 m/s, les durées des étapes forment aussi une série convergente : 10 + 1 + 0,1 + … = 100/9 ≈ 11,1 s. Achille rattrape la tortue au bout d’environ 11,1 secondes, après 111,1 mètres. Le calcul direct le confirme : il comble 100 m d’écart à une vitesse relative de 9 m/s.
Une infinité d’étapes n’implique pas une durée infinie, si les étapes raccourcissent assez vite. Voir les suites numériques.
La dichotomie
Pour parcourir 1 km, on fait d’abord 1/2 km, puis 1/4, puis 1/8, etc. :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1
La somme de cette infinité de moitiés vaut exactement 1. À vitesse constante, chaque étape dure moitié moins que la précédente, et la durée totale est finie. Le paradoxe confond « infiniment nombreuses » et « infiniment longues ».
La flèche
Ce paradoxe est d’une autre nature : il ne porte pas sur une somme infinie, mais sur la notion d'instant. Si, à chaque instant, la flèche est immobile, comment peut-elle avancer ? La réponse moderne est la vitesse instantanée, définie comme une limite par le calcul différentiel de Newton et Leibniz au XVIIe siècle : à un instant donné, la flèche occupe une position, mais elle a aussi une vitesse, qui est la limite du rapport distance/durée sur des intervalles de plus en plus courts. Voir les dérivées.
La solution est-elle complète ?
Pour les mathématiciens, la théorie des limites, rendue rigoureuse au XIXe siècle par Augustin Cauchy et Karl Weierstrass, répond aux paradoxes : une série peut avoir une somme finie, une vitesse instantanée a un sens précis. Certains philosophes estiment cependant que la question reste ouverte : comment un processus peut-il effectivement achever une infinité d’actions ? La distinction d’Aristote entre infini potentiel (qu’on peut toujours prolonger) et infini actuel (achevé) est née en partie de ces paradoxes. Voir l’infini en mathématiques.
Une portée considérable
Les paradoxes de Zénon ont joué un rôle majeur dans l’histoire des idées :
- ils ont rendu les mathématiciens grecs méfiants envers l’infini, ce qui a conduit Eudoxe et Archimède à la méthode d’exhaustion, raisonnement rigoureux qui évite l’infini actuel ;
- ils ont motivé la recherche d’une définition rigoureuse de la limite et du continu ;
- ils inspirent encore la physique (l'« effet Zénon quantique » désigne le ralentissement de l’évolution d’un système observé très fréquemment).
Questions fréquentes
Achille rattrape-t-il la tortue ?
Oui. Les étapes infinies du raisonnement de Zénon durent de moins en moins longtemps, et leur somme est finie. Avec les chiffres ci-dessus, Achille rejoint la tortue après environ 111 m et 11 s.
Comment une somme infinie peut-elle être finie ?
Si les termes diminuent assez vite. Par exemple, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … ne dépasse jamais 1 et s’en approche autant qu’on veut : sa limite est 1. En revanche, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … est infinie, bien que ses termes tendent vers 0.
Qui était Zénon d’Élée ?
Un philosophe grec du Ve siècle av. J.-C., élève de Parménide, qui soutenait que l’être est un et immobile. Ses paradoxes visaient à défendre cette thèse en montrant les contradictions de la thèse adverse.
Quelle est la différence avec Zénon de Kition ?
Zénon de Kition (IVe-IIIe siècle av. J.-C.) est un autre philosophe, fondateur du stoïcisme. Les paradoxes sont dus à Zénon d’Élée.