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Les suites géométriques
Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, la raison. Son terme général est uₙ = u₀ × qⁿ.
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Les suites géométriques sont au programme de première. Elles décrivent toutes les évolutions à pourcentage constant : intérêts composés, croissance d’une population, désintégration radioactive, perte de valeur d’une voiture. Elles s’opposent aux suites arithmétiques, qui progressent d’une quantité fixe.
Reconnaître une suite géométrique
Méthode : si les termes ne s’annulent pas, calculer uₙ₊₁ / uₙ. Si ce quotient est une constante, la suite est géométrique de raison cette constante. Sinon, on peut chercher à écrire directement uₙ₊₁ = q × uₙ.
uₙ = 5 × 3ⁿ:uₙ₊₁ / uₙ = 3. Géométrique de raison 3.vₙ = n² + 1:v₁/v₀ = 2etv₂/v₁ = 2,5. Pas géométrique.
Pourcentages et coefficient multiplicateur
Une hausse de t % multiplie par 1 + t/100 ; une baisse de t % par 1 − t/100 (voir calculer un pourcentage).
| Évolution par période | Raison q |
|---|---|
| + 2 % | 1,02 |
| + 50 % | 1,5 |
| − 20 % | 0,8 |
| doublement | 2 |
| division par 2 | 0,5 |
Exemple : 1 000 € placés à 2 % par an (intérêts composés). Après n années : Cₙ = 1 000 × 1,02ⁿ. Après 10 ans : C₁₀ ≈ 1 218,99 €. Voir les intérêts composés.
Sens de variation (u₀ > 0)
| Raison | Comportement |
|---|---|
| q > 1 | strictement croissante, tend vers +∞ |
| q = 1 | constante |
| 0 < q < 1 | strictement décroissante, tend vers 0 |
| q < 0 | alterne de signe |
Si u₀ < 0, les sens de variation sont inversés.
La croissance exponentielle
Les points (n ; uₙ) ne sont pas alignés : ils suivent une courbe de type exponentiel. Une suite géométrique de raison q > 1 finit toujours par dépasser n’importe quelle suite arithmétique, même si elle part plus bas. Légende de l’échiquier : un grain de riz sur la première case, puis on double à chaque case. Sur les 64 cases, le total vaut 2⁶⁴ − 1, soit environ 1,8 × 10¹⁹ grains. La version continue est la fonction exponentielle.
La somme des termes
Formule de base (q ≠ 1) : 1 + q + q² + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q).
Somme de termes consécutifs :
S = premier terme × (1 − q^(nombre de termes)) / (1 − q)
Exemple : u₀ = 3, q = 2. Somme de u₀ à u₅ (6 termes) : S = 3 × (1 − 2⁶)/(1 − 2) = 3 × 63 = 189. Vérification : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
La limite de qⁿ (terminale)
| q | Limite de qⁿ |
|---|---|
| q > 1 | +∞ |
| q = 1 | 1 |
| −1 < q < 1 | 0 |
| q ≤ −1 | pas de limite |
Si −1 < q < 1, la somme 1 + q + q² + … tend vers 1/(1 − q). Exemple : 1 + 1/2 + 1/4 + … = 2. C’est la solution du paradoxe de Zénon.
Erreurs fréquentes
- Ajouter au lieu de multiplier : une hausse de 3 % par an n’est pas une suite arithmétique.
- Prendre q = 0,03 pour une hausse de 3 % : la raison est 1,03.
- Indice de départ : avec u₁, c’est
qⁿ⁻¹. - Mal compter les termes dans la formule de somme.
- Croire qu’une baisse de 20 % deux fois fait −40 % :
0,8² = 0,64, soit −36 %.
Exercice corrigé
- (uₙ) géométrique,
u₀ = 50,q = 0,8.u₅ = 50 × 0,8⁵ =16,384. - La suite est décroissante et tend vers 0.
- Une ville de 20 000 habitants croît de 3 % par an :
Pₙ = 20 000 × 1,03ⁿ. Après 5 ans :≈23 185 habitants. u₁ = 2etu₄ = 54:q³ = 27, doncq =3.- Somme
1 + 3 + 9 + … + 3⁷(8 termes) :(1 − 3⁸)/(1 − 3) = 6 560 / 2 =3 280.
Questions fréquentes
Comment savoir si une suite est géométrique ?
On montre que uₙ₊₁ = q × uₙ pour tout n, par exemple en calculant le quotient uₙ₊₁ / uₙ lorsqu’il est défini et en vérifiant qu’il est constant.
Quelle est la formule d’une suite géométrique ?
uₙ = u₀ × qⁿ, ou uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹ si le premier terme est u₁.
Quelle est la raison pour une augmentation de 5 % ?
q = 1 + 5/100 = 1,05. Pour une baisse de 5 %, q = 0,95.
Une suite géométrique tend-elle toujours vers l’infini ?
Non. Si la raison est comprise strictement entre −1 et 1, elle tend vers 0. Elle tend vers l’infini (en valeur absolue) seulement si |q| > 1.