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Le tableau de signes
Un tableau de signes indique, pour chaque intervalle de valeurs de x, si une expression est positive ou négative. On l’utilise pour un produit ou un quotient de facteurs, en appliquant la règle des signes ligne par ligne.
Mis à jour le 4 min de lecture
Le signe d’une expression est l’information clé pour résoudre une inéquation, étudier les positions de deux courbes ou déduire les variations d’une fonction à partir de sa dérivée. Le tableau de signes organise ce travail : on étudie séparément le signe de chaque facteur simple, puis on combine. Il ne faut pas le confondre avec le tableau de variations, qui indique si une fonction monte ou descend.
Les signes à connaître
Le signe de ax + b
Une expression affine ax + b (a ≠ 0) s’annule en x = −b/a. Elle est du signe de a à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche (voir la fonction affine).
| x | −∞ | −b/a | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| ax + b (a > 0) | − | 0 | + | ||
| ax + b (a < 0) | + | 0 | − |
Le signe du trinôme ax² + bx + c
Il est du signe de a, sauf entre ses racines quand elles existent (voir l'équation du second degré).
Les expressions toujours positives
Un carré (…)², x² + 1, une exponentielle eˣ, une valeur absolue ou une racine carrée sont positifs (ou nuls) : on peut souvent les écarter de l’étude.
La méthode pas à pas
- Factoriser l’expression (produit ou quotient de facteurs simples).
- Chercher où chaque facteur s’annule ; repérer les valeurs interdites (dénominateur nul).
- Ranger ces valeurs dans l’ordre croissant sur la première ligne.
- Remplir une ligne par facteur.
- Appliquer la règle des signes colonne par colonne : un nombre pair de « − » donne +, un nombre impair donne −.
- Conclure sur la dernière ligne : 0 là où un facteur du numérateur s’annule,
‖aux valeurs interdites.
Exemple 1 : un produit
Signe de P(x) = (x + 2)(3 − x).
x + 2s’annule en −2 ; positif après.3 − xs’annule en 3 ; positif avant (a = −1 < 0).
| x | −∞ | −2 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 2 | − | 0 | + | + | |||
| 3 − x | + | + | 0 | − | |||
| P(x) | − | 0 | + | 0 | − |
Conclusion : P(x) > 0 sur ]−2 ; 3[, P(x) < 0 sur ]−∞ ; −2[ ∪ ]3 ; +∞[.
Exemple 2 : un quotient
Signe de Q(x) = (2x − 1) / (x + 3).
2x − 1s’annule en 1/2.x + 3s’annule en −3 : valeur interdite.
| x | −∞ | −3 | 1/2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x − 1 | − | − | 0 | + | |||
| x + 3 | − | 0 | + | + | |||
| Q(x) | + | ‖ | − | 0 | + |
Résoudre Q(x) ≤ 0 donne ]−3 ; 1/2] : −3 est exclu (valeur interdite), 1/2 inclus (Q s’annule). Voir les inéquations.
Exemple 3 : se ramener à zéro
Pour résoudre x/(x − 1) ≥ 2, on ne multiplie pas par x − 1 (signe inconnu). On écrit :
x/(x − 1) − 2 ≥ 0, soit (x − 2(x − 1))/(x − 1) ≥ 0, soit (2 − x)/(x − 1) ≥ 0.
Tableau : 2 − x s’annule en 2 (positif avant), x − 1 en 1 (interdite). Le quotient est positif entre 1 et 2. Solution : ]1 ; 2].
Le tableau de signes au service des variations
Le signe de la dérivée donne le sens de variation : f croît là où f′(x) > 0, décroît là où f′(x) < 0 (voir les dérivées). On dresse donc souvent un tableau de signes de f′ juste au-dessus du tableau de variations de f.
Erreurs fréquentes
- Ranger les valeurs dans le désordre sur la première ligne.
- Oublier une valeur interdite ou y mettre un 0.
- Se tromper de signe pour ax + b quand a < 0.
- Étudier une somme au lieu d’un produit :
x − 1 + x + 2ne se traite pas avec la règle des signes ; on réduit d’abord. - Multiplier une inéquation par une expression de signe inconnu.
Questions fréquentes
Comment faire un tableau de signes ?
On factorise, on cherche les valeurs qui annulent chaque facteur, on les range dans l’ordre, on remplit le signe de chaque facteur puis on applique la règle des signes pour la dernière ligne.
Quelle est la différence entre tableau de signes et tableau de variations ?
Le premier indique si une expression est positive ou négative ; le second si une fonction est croissante ou décroissante. Le signe de f′ donne les variations de f.
Que met-on à une valeur interdite ?
Une double barre ‖ : l’expression n’est pas définie en ce point.
Comment trouver le signe de ax + b rapidement ?
« Signe de a à droite de la racine » : on calcule −b/a, et l’expression a le signe de a pour les x plus grands.