Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique, au programme de seconde et de première, étend le cosinus et le sinus, définis au collège dans le triangle rectangle pour des angles aigus (voir trigonométrie), à tous les nombres réels. Il introduit aussi le radian, l’unité d’angle naturelle en analyse.

L’enroulement de la droite des réels

On place une droite graduée tangente au cercle au point I(1 ; 0), et on l'enroule autour du cercle : les réels positifs dans le sens direct, les négatifs dans le sens indirect. Chaque réel x vient se poser sur un point M du cercle. Comme le périmètre vaut 2π, les réels x, x + 2π, x − 2π… tombent sur le même point.

Le radian

Un angle de 1 radian intercepte sur le cercle de rayon 1 un arc de longueur 1. Un tour complet mesure donc 2π rad, et :

angle en radians = angle en degrés × π / 180

1 rad vaut environ 57,3°. Voir le nombre π.

Valeurs remarquables

Moyen mnémotechnique : les sinus de 0, π/6, π/4, π/3, π/2 valent √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 ; les cosinus dans l’ordre inverse.

Les propriétés fondamentales

• −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1, car M est sur un cercle de rayon 1.
• cos² x + sin² x = 1 (théorème de Pythagore dans le cercle).
• cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x : périodicité de 2π.

Signe selon le quadrant

Les angles associés

Par symétries du cercle :

Exemple : cos(5π/6) = cos(π − π/6) = −√3/2 ; sin(7π/6) = sin(π + π/6) = −1/2.

Placer un réel : méthode

1. Écrire x sous la forme « tours complets + reste » : 17π/4 = 4π + π/4.
2. Les tours complets (multiples de 2π) ne changent pas le point.
3. Placer le reste : ici π/4, à mi-chemin entre I et le haut du cercle.

Résoudre cos x = a ou sin x = a

cos x = 1/2 sur ]−π ; π] : les points du cercle d’abscisse 1/2 correspondent à x = π/3 et x = −π/3. Sur ℝ, on ajoute les multiples de 2π : x = ±π/3 + 2kπ, k entier.

Erreurs fréquentes

• Calculatrice en degrés alors que l’énoncé est en radians (ou l’inverse).
• Confondre cos et sin : cos est l’abscisse (horizontale), sin l’ordonnée (verticale).
• Oublier la deuxième solution de cos x = a.
• Mauvais sens de rotation : le sens direct est l’inverse des aiguilles d’une montre.

Exercice corrigé

1. Convertir 150° en radians : 150 × π/180 = 5π/6.
2. cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −1/2 ; sin(2π/3) = √3/2.
3. Point associé à −7π/2 : −7π/2 + 4π = π/2, c’est le point J(0 ; 1).
4. Si sin x = 0,6 et x dans ]0 ; π/2[, alors cos² x = 1 − 0,36 = 0,64 et cos x = 0,8.
5. Résoudre sin x = √2/2 sur [0 ; 2π[ : x = π/4 ou x = 3π/4.

Questions fréquentes

Pourquoi le rayon du cercle trigonométrique vaut-il 1 ?

Pour que les coordonnées du point M soient directement cos x et sin x, et que la longueur d’un arc soit égale à la mesure de l’angle en radians.

Comment convertir des degrés en radians ?

On multiplie par π/180 : 60° = 60π/180 = π/3. Dans l’autre sens, on multiplie par 180/π.

Que vaut cos(π) ?

−1 : le point associé à π est (−1 ; 0), à l’opposé de I sur le cercle. Et sin(π) = 0.

Pourquoi utiliser les radians plutôt que les degrés ?

Parce que les formules d’analyse deviennent simples : la dérivée de sin x n’est cos x que si x est en radians. Voir les fonctions sinus et cosinus.