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Le logarithme
Le logarithme d’un nombre est l’exposant auquel il faut élever une base pour obtenir ce nombre : log₁₀(1 000) = 3 car 10³ = 1 000. Il transforme les produits en sommes : log(a × b) = log a + log b.
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Le pH d’une solution, les décibels d’un son, la magnitude d’un séisme, la luminosité des étoiles : toutes ces échelles sont logarithmiques. Le logarithme, inventé au début du XVIIe siècle pour accélérer les calculs des astronomes, est l’opération inverse de la puissance. Il permet de manier des nombres qui s’étendent sur des ordres de grandeur très différents.
Exemples : log₁₀(100) = 2 car 10² = 100 ; log₂(8) = 3 car 2³ = 8 ; log₁₀(0,001) = −3 car 10⁻³ = 0,001. Voir puissances.
Les trois logarithmes usuels
| Nom | Notation | Base | Usage |
|---|---|---|---|
| Logarithme népérien (ou naturel) | ln | e ≈ 2,718 28 | analyse, sciences, croissance continue |
| Logarithme décimal | log | 10 | chimie (pH), acoustique (dB), sismologie, ordres de grandeur |
| Logarithme binaire | log₂ ou lb | 2 | informatique, théorie de l’information |
Le nombre e, base du logarithme népérien, vaut environ 2,718 281 828. C’est l’unique base pour laquelle la fonction eˣ est sa propre dérivée. C’est un nombre irrationnel et même transcendant.
Valeurs à connaître
| x | 0,01 | 0,1 | 1 | 2 | 10 | 100 | 1 000 | 1 000 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| log₁₀(x) | −2 | −1 | 0 | ≈ 0,301 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| ln(x) | ≈ −4,605 | ≈ −2,303 | 0 | ≈ 0,693 | ≈ 2,303 | ≈ 4,605 | ≈ 6,908 | ≈ 13,816 |
Repères : ln(1) = 0, ln(e) = 1, log(1) = 0, log(10) = 1. Le logarithme décimal d’un nombre donne, à peu près, son nombre de chiffres moins un : log(5 000) ≈ 3,7, et 5 000 a 4 chiffres.
Les propriétés fondamentales
Pour a > 0, b > 0 et n réel, dans toute base :
| Propriété | Formule | Exemple (base 10) |
|---|---|---|
| Produit | log(a × b) = log a + log b | log(1 000 × 100) = 3 + 2 = 5 |
| Quotient | log(a / b) = log a − log b | log(1 000 / 10) = 3 − 1 = 2 |
| Inverse | log(1 / a) = −log a | log(0,01) = −2 |
| Puissance | log(aⁿ) = n × log a | log(10⁷) = 7 |
| Racine | log(√a) = ½ log a | log(√100) = 1 |
| Réciprocité | b^(log_b x) = x et log_b(bˣ) = x | e^(ln 5) = 5 |
C’est la propriété du produit qui a fait le succès des logarithmes : elle transforme une multiplication difficile en une addition facile.
Changer de base
log_b(x) = ln(x) / ln(b) = log(x) / log(b)
Ainsi log₂(1 000) = log(1 000) / log(2) ≈ 3 / 0,301 ≈ 9,97 : il faut un peu moins de 10 doublements pour passer de 1 à 1 000 (2¹⁰ = 1 024).
Résoudre une équation exponentielle
Le logarithme permet de trouver un exposant inconnu.
La fonction logarithme népérien
La fonction x ↦ ln x est définie sur ]0 ; +∞[. Elle est :
- strictement croissante ;
- négative entre 0 et 1, nulle en 1, positive au-delà ;
- de dérivée
1/x: elle croît de plus en plus lentement ; - de limite −∞ en 0 et +∞ en +∞, mais elle tend vers l’infini plus lentement que toute puissance de x : ln(1 000 000) ≈ 13,8 seulement.
Elle est la réciproque de la fonction exponentielle : leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite y = x (voir fonctions mathématiques). Historiquement, ln x a aussi été défini comme l’aire sous l’hyperbole y = 1/t entre 1 et x, c’est-à-dire comme une intégrale.
Une histoire : accélérer les calculs
| Date | Étape |
|---|---|
| 1614 | l’Écossais John Napier (Neper en français) publie la Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, première table de logarithmes ; le mot vient du grec logos (« rapport ») et arithmos (« nombre ») |
| 1620 | le Suisse Jost Bürgi publie indépendamment des tables comparables |
| 1617-1624 | Henry Briggs propose et calcule les logarithmes en base 10 |
| vers 1620-1630 | Edmund Gunter puis William Oughtred inventent la règle à calcul, fondée sur les échelles logarithmiques |
| XVIIIe siècle | Leonhard Euler définit le logarithme comme réciproque de l’exponentielle et étudie le nombre e |
Pendant plus de trois siècles, des tables de logarithmes et des règles à calcul ont servi à l’astronomie, à la navigation, à l’ingénierie et à la physique. Pierre-Simon de Laplace aurait dit que les logarithmes, en abrégeant les calculs, doublaient la vie des astronomes. Ces outils n’ont été détrônés que par les calculatrices électroniques dans les années 1970.
Les échelles logarithmiques
Quand une grandeur varie sur plusieurs ordres de grandeur, une échelle logarithmique la rend lisible : chaque graduation correspond à une multiplication par un facteur fixe.
| Échelle | Définition | Ce que signifie +1 |
|---|---|---|
| pH | pH = −log [H₃O⁺] | une solution 10 fois moins acide (voir acides, bases et pH) |
| Décibel (dB) | L = 10 log(I / I₀) | +10 dB : intensité sonore multipliée par 10 ; +3 dB : environ doublée (voir onde sonore) |
| Magnitude des séismes | logarithme de l’amplitude des ondes | +1 : amplitude multipliée par 10, énergie par environ 32 (voir séismes) |
| Magnitude des étoiles | 5 magnitudes = facteur 100 de luminosité | une étoile environ 2,5 fois moins lumineuse |
| Octaves musicales | log₂ des fréquences | +1 octave : fréquence doublée |
Nos sens eux-mêmes perçoivent souvent les intensités de façon approximativement logarithmique (loi de Weber-Fechner) : un doublement de la puissance sonore n’est pas perçu comme deux fois plus fort.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre ln et log ?
ln est le logarithme népérien, de base e ≈ 2,718 ; log désigne en général le logarithme décimal, de base 10. On passe de l’un à l’autre par log x = ln x / ln 10 ≈ ln x / 2,303.
Pourquoi log(1) = 0 ?
Parce que toute base non nulle élevée à la puissance 0 vaut 1 : b⁰ = 1, donc log_b(1) = 0.
Peut-on calculer le logarithme d’un nombre négatif ?
Pas dans les nombres réels : aucune puissance d’une base positive n’est négative. Dans les nombres complexes, on peut définir un logarithme, mais il n’est pas unique.
À quoi sert le logarithme dans la vie courante ?
À exprimer le pH, les décibels, la magnitude des séismes, à calculer des durées de placement ou de décroissance radioactive, et plus généralement à manier des grandeurs très étendues.