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Les puissances
La puissance n-ième d’un nombre a, notée aⁿ, est le produit de n facteurs égaux à a : 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Les puissances obéissent à des règles simples : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
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Les puissances sont une écriture abrégée de la multiplication répétée, comme la multiplication abrège l’addition répétée. Elles permettent d’écrire en quelques signes des nombres gigantesques (la masse de la Terre, environ 6 × 10²⁴ kg) ou minuscules (la taille d’un atome, de l’ordre de 10⁻¹⁰ m), et décrivent toutes les croissances « exponentielles ».
On dit « a au carré » pour a² et « a au cube » pour a³, en référence à l’aire d’un carré et au volume d’un cube.
Les conventions
| Cas | Règle | Exemple |
|---|---|---|
| Exposant 1 | a¹ = a | 7¹ = 7 |
| Exposant 0 (a ≠ 0) | a⁰ = 1 | 5⁰ = 1 ; (−3)⁰ = 1 |
| Exposant négatif (a ≠ 0) | a⁻ⁿ = 1 / aⁿ | 2⁻³ = 1/8 = 0,125 |
| Base 1 | 1ⁿ = 1 | 1¹⁰⁰ = 1 |
| Base 0 (n ≥ 1) | 0ⁿ = 0 | 0⁵ = 0 |
Pourquoi a⁰ = 1 ? Parce que la règle du quotient l’impose : a³ / a³ = a³⁻³ = a⁰, et un nombre divisé par lui-même vaut 1. L’expression 0⁰ est en général laissée indéfinie en analyse, mais souvent posée égale à 1 en algèbre et en combinatoire.
Les cinq règles de calcul
Pour a et b non nuls et m, n entiers relatifs :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de même base | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 |
| Quotient de même base | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁶ / 5⁴ = 5² = 25 |
| Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (3²)³ = 3⁶ = 729 |
| Puissance d’un produit | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 2³ × 5³ = 1 000 |
| Puissance d’un quotient | (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (2/3)² = 4/9 |
Le signe d’une puissance
- Une puissance d’un nombre positif est toujours positive.
- Une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative s’il est impair :
(−2)⁴ = 16,(−2)³ = −8.
Les puissances de 10
Elles sont la base de notre système décimal et de l’écriture scientifique.
| Puissance | Écriture décimale | Préfixe SI | Symbole |
|---|---|---|---|
| 10¹² | 1 000 000 000 000 | téra | T |
| 10⁹ | 1 000 000 000 | giga | G |
| 10⁶ | 1 000 000 | méga | M |
| 10³ | 1 000 | kilo | k |
| 10⁰ | 1 | — | — |
| 10⁻³ | 0,001 | milli | m |
| 10⁻⁶ | 0,000 001 | micro | µ |
| 10⁻⁹ | 0,000 000 001 | nano | n |
| 10⁻¹² | 0,000 000 000 001 | pico | p |
Astuce : 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ s’écrit avec n chiffres après la virgule, le dernier étant 1. Voir unités du Système international.
L’écriture scientifique
Tout nombre décimal non nul s’écrit de façon unique sous la forme :
a × 10ⁿ avec 1 ≤ |a| < 10 et n entier relatif.
| Nombre | Écriture scientifique |
|---|---|
| 299 792 458 m/s (vitesse de la lumière) | 2,997 924 58 × 10⁸ m/s |
| 0,000 45 | 4,5 × 10⁻⁴ |
| 602 214 076 000 000 000 000 000 (nombre d’Avogadro) | 6,022 140 76 × 10²³ |
| 0,000 000 000 1 m (taille d’un atome) | 1 × 10⁻¹⁰ m |
L’exposant n donne l'ordre de grandeur du nombre (voir ordres de grandeur). Pour multiplier deux nombres en écriture scientifique, on multiplie les mantisses et on additionne les exposants : (3 × 10⁴) × (2 × 10⁵) = 6 × 10⁹.
Puissances et croissance exponentielle
Une quantité multipliée par un même facteur à intervalles réguliers croît selon une puissance : c’est une suite géométrique.
Le même calcul explique la puissance des intérêts composés, la propagation d’une épidémie au début de sa phase de croissance ou le doublement régulier du nombre de transistors dans les puces (loi de Moore). L’opération inverse de la puissance, qui retrouve l’exposant, est le logarithme.
Exposants fractionnaires
On étend la notation aux exposants non entiers : a^(1/2) = √a et a^(1/n) = ⁿ√a (voir racine carrée). Ainsi 8^(1/3) = 2 et 16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8. Les mêmes règles de calcul s’appliquent pour a > 0.
Questions fréquentes
Pourquoi un nombre puissance 0 est-il égal à 1 ?
Pour que la règle aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ reste vraie : a² / a² = 1 et vaut aussi a⁰. C’est une convention cohérente, valable pour tout a non nul.
Que signifie une puissance négative ?
a⁻ⁿ est l’inverse de aⁿ : 10⁻² = 1/100 = 0,01 et 2⁻¹ = 1/2.
Comment calculer une puissance de puissance ?
On multiplie les exposants : (2³)² = 2⁶ = 64.
Quelle est la différence entre −2² et (−2)² ?
−2² = −(2²) = −4, car la puissance est prioritaire sur le signe moins. (−2)² = (−2) × (−2) = 4.