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Les suites numériques
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres u₀, u₁, u₂… Les suites arithmétiques ajoutent un même nombre à chaque étape, les suites géométriques multiplient par un même nombre.
Mis à jour le 4 min de lecture
Une épargne qui rapporte des intérêts chaque année, une population de bactéries qui double toutes les vingt minutes, un loyer qui augmente de 30 € par an : ces situations se décrivent par des suites. Une suite associe à chaque entier naturel n un nombre noté uₙ, appelé terme de rang n. C’est une fonction définie sur les entiers.
Deux façons de définir une suite
| Mode | Principe | Exemple |
|---|---|---|
| Explicite | On calcule directement uₙ à partir de n | uₙ = 3n + 2 : u₁₀ = 32 |
| Par récurrence | On calcule chaque terme à partir du précédent | u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ − 1 : 2, 3, 5, 9, 17… |
Une suite définie par récurrence oblige à calculer tous les termes intermédiaires, sauf si l’on trouve sa forme explicite.
Les suites arithmétiques
On passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Relation de récurrence | uₙ₊₁ = uₙ + r |
| Terme général | uₙ = u₀ + n × r (ou uₙ = u₁ + (n − 1) × r) |
| Entre deux termes | uₙ = uₚ + (n − p) × r |
| Somme de termes consécutifs | S = nombre de termes × (premier + dernier) / 2 |
| Somme des entiers de 1 à n | 1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2 |
| Sens de variation | Croissante si r > 0, décroissante si r < 0 |
Graphiquement, les points d’une suite arithmétique sont alignés : c’est la version discrète d’une fonction affine. On parle de croissance linéaire.
Les suites géométriques
On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison.
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Relation de récurrence | uₙ₊₁ = q × uₙ |
| Terme général | uₙ = u₀ × qⁿ |
| Somme des n + 1 premiers termes (q ≠ 1) | u₀ × (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) |
Somme 1 + q + q² + … + qⁿ | (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) |
| Sens de variation (u₀ > 0) | Croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1 |
On parle de croissance exponentielle : elle finit toujours par dépasser n’importe quelle croissance linéaire.
Arithmétique ou géométrique : comment reconnaître ?
- On calcule les différences
uₙ₊₁ − uₙ: si elles sont constantes, la suite est arithmétique. - On calcule les quotients
uₙ₊₁ / uₙ: s’ils sont constants, elle est géométrique.
En pratique : une évolution d’un même montant donne une suite arithmétique ; une évolution d’un même pourcentage, une suite géométrique.
Limites et convergence
Une suite converge si ses termes se rapprochent d’un nombre fixe, sa limite. Sinon, elle diverge (vers l’infini, ou sans limite).
| Suite géométrique qⁿ | Comportement quand n → +∞ |
|---|---|
| q > 1 | Tend vers +∞ |
| q = 1 | Constante égale à 1 |
| −1 < q < 1 | Tend vers 0 |
| q ≤ −1 | Pas de limite (oscille) |
Une suite croissante et majorée converge (théorème de la limite monotone).
La suite de Fibonacci
Définie par F₁ = F₂ = 1 et Fₙ₊₂ = Fₙ₊₁ + Fₙ : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Elle apparaît dans le Liber abaci (1202) de Leonardo Fibonacci, à propos d’une population de lapins. Elle n’est ni arithmétique ni géométrique, mais le rapport de deux termes consécutifs tend vers le nombre d’or φ ≈ 1,618.
Raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu’une propriété est vraie pour tout entier n, on montre :
- Initialisation : elle est vraie pour le premier rang.
- Hérédité : si elle est vraie pour un rang n, elle l’est pour n + 1.
C’est le principe des dominos : le premier tombe, et chacun fait tomber le suivant.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre suite arithmétique et géométrique ?
Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison à chaque étape (croissance linéaire). Dans une suite géométrique, on multiplie par la même raison (croissance exponentielle).
Comment calculer la raison d’une suite ?
Arithmétique : r = uₙ₊₁ − uₙ, ou r = (uₙ − uₚ) / (n − p). Géométrique : q = uₙ₊₁ / uₙ.
Comment calculer la somme des termes d’une suite arithmétique ?
On multiplie le nombre de termes par la moyenne du premier et du dernier terme. La somme des nombres de 1 à 50 vaut 50 × (1 + 50) / 2 = 1 275.
Une suite est-elle forcément croissante ou décroissante ?
Non. Une suite peut alterner (−1, 1, −1, 1…) ou varier de façon irrégulière. Elle peut aussi être constante.