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La fonction inverse
La fonction inverse associe à tout réel x non nul le nombre 1/x. Elle n’est pas définie en 0 ; sa courbe est une hyperbole, et elle est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
Mis à jour le 4 min de lecture
La fonction inverse décrit toutes les grandeurs inversement proportionnelles : le temps d’un trajet en fonction de la vitesse, la part de chacun quand on partage une somme, la pression d’un gaz en fonction du volume à température constante (loi de Boyle-Mariotte ; voir la pression). C’est aussi l’exemple type d’une fonction qui n’est pas définie partout et dont la courbe a des asymptotes.
Tableau de valeurs
| x | −4 | −2 | −1 | −0,5 | 0,25 | 0,5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | −0,25 | −0,5 | −1 | −2 | 4 | 2 | 1 | 0,5 | 0,25 |
Plus x est grand, plus 1/x est petit ; plus x est proche de 0, plus 1/x est grand en valeur absolue. Un nombre et son inverse ont le même signe.
Les propriétés
Parité
f(−x) = 1/(−x) = −1/x = −f(x) : la fonction inverse est impaire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
Sens de variation
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | décroissante | ‖ | décroissante |
La fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et décroissante sur ]0 ; +∞[.
Dérivée
f′(x) = −1/x², toujours strictement négative sur chaque intervalle : cela confirme la décroissance (voir les dérivées). Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞ est le logarithme népérien ln x (voir le [logarithme).
Limites et asymptotes
| Quand x tend vers | 1/x tend vers |
|---|---|
| +∞ | 0 (par valeurs positives) |
| −∞ | 0 (par valeurs négatives) |
| 0 par valeurs positives (0⁺) | +∞ |
| 0 par valeurs négatives (0⁻) | −∞ |
- Asymptote horizontale : l’axe des abscisses (y = 0), dont la courbe se rapproche sans jamais le toucher.
- Asymptote verticale : l’axe des ordonnées (x = 0).
Voir les limites de fonctions.
Comparer des inverses
- Deux nombres de même signe sont rangés dans l’ordre inverse de leurs inverses : si 0 < a < b, alors
1/a > 1/b. Exemple : 2 < 5 donc1/2 > 1/5. - Pour des nombres de signes contraires, le négatif a un inverse négatif :
1/(−3) < 1/2.
Résoudre des équations et inéquations
Ne multipliez jamais les deux membres par x sans connaître son signe : utilisez plutôt un tableau de signes.
Les fonctions homographiques
Les fonctions de la forme f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0) ont pour courbe une hyperbole, obtenue en déplaçant et en étirant celle de 1/x.
L’inverse dans la vie courante
| Situation | Relation |
|---|---|
| Trajet de 120 km | Temps t = 120/v |
| 600 € partagés entre n personnes | Part p = 600/n |
| Gaz parfait à température constante | Pression P = k/V |
| Intensité lumineuse reçue | Varie comme l’inverse du carré de la distance (fonction 1/x²) |
Erreurs fréquentes
- Calculer l’image de 0.
- Confondre inverse et opposé : l’inverse de 4 est 1/4, son opposé est −4.
- Dire qu’elle est décroissante sur ℝ∗ tout entier.
- Oublier de changer l’ordre en passant aux inverses.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction inverse n’est-elle pas définie en 0 ?
Parce que 1/0 n’a pas de sens : aucun nombre multiplié par 0 ne donne 1.
La fonction inverse est-elle décroissante ?
Oui sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[, mais pas sur leur réunion.
Quelle est la dérivée de 1/x ?
−1/x². Elle est toujours négative, ce qui traduit la décroissance sur chaque intervalle.
Quelle est la différence entre fonction inverse et fonction réciproque ?
La fonction inverse est x ↦ 1/x. La réciproque d’une fonction f est la fonction qui « défait » f (par exemple ln est la réciproque de exp). La fonction inverse est d’ailleurs sa propre réciproque.