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La fonction linéaire
Une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax, où a est un nombre fixe appelé coefficient. Elle modélise une situation de proportionnalité, et sa courbe est une droite qui passe par l’origine du repère.
Mis à jour le 4 min de lecture
Le prix de l’essence en fonction du nombre de litres, la distance parcourue à vitesse constante en fonction du temps, une conversion d’euros en dollars : chaque fois que deux grandeurs sont proportionnelles, l’une est une fonction linéaire de l’autre. Étudiée en France en classe de troisième, la fonction linéaire est l’écriture algébrique de la proportionnalité.
Calculer images et antécédents
Pour trouver un antécédent, on divise par a ; pour une image, on multiplie.
Trouver le coefficient
Si l’on connaît une image : a = f(x) / x (pour x ≠ 0).
La représentation graphique
La courbe d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine O(0 ; 0). Réciproquement, toute droite non verticale passant par l’origine représente une fonction linéaire.
- Pour la tracer, un seul point suffit en plus de l’origine : le point (1 ; a), par exemple.
- a est la pente : quand x augmente de 1, y augmente de a.
| Coefficient | Allure de la droite | Variation |
|---|---|---|
| a > 0 | Monte de gauche à droite | Croissante |
| a < 0 | Descend | Décroissante |
| a = 0 | Axe des abscisses | Constante (nulle) |
Lire a sur le graphique : on repère le point d’abscisse 1 sur la droite ; son ordonnée est a. Ou on prend un point quelconque (x ; y) et a = y / x.
Les propriétés de linéarité
Pour une fonction linéaire, et pour tous nombres x, x' et k :
f(x + x') = f(x) + f(x');f(kx) = k × f(x).
Ce sont les propriétés qu’on utilise dans un tableau de proportionnalité : si 2 kg coûtent 5 € et 3 kg coûtent 7,50 €, alors 5 kg coûtent 12,50 €. Elles expliquent aussi le produit en croix et la règle de trois.
Pourcentages et fonctions linéaires
Appliquer un pourcentage, c’est appliquer une fonction linéaire (voir le calcul de pourcentage) :
| Opération | Fonction | Coefficient |
|---|---|---|
| Prendre 30 % | f(x) = 0,3x | 0,3 |
| Augmenter de 20 % | f(x) = 1,2x | 1,2 |
| Diminuer de 15 % | f(x) = 0,85x | 0,85 |
| Convertir en TTC (TVA 20 %) | f(x) = 1,2x | 1,2 |
Enchaîner deux pourcentages revient à multiplier les coefficients : une hausse de 10 % puis une baisse de 10 % donne 1,1 × 0,9 = 0,99, soit une baisse de 1 %.
Fonction linéaire ou affine ?
| Linéaire | Affine | |
|---|---|---|
| Expression | f(x) = ax | f(x) = ax + b |
| Droite | Passe par l’origine | Coupe l’axe des ordonnées en b |
| Proportionnalité | Oui | Non (si b ≠ 0) |
f(0) | 0 | b |
| Exemple | Prix de l’essence au litre | Taxi : prise en charge + prix au km |
Erreurs fréquentes
- Croire que toute droite représente une fonction linéaire : seulement si elle passe par l’origine.
- Calculer a = x / f(x) au lieu de
f(x) / x. - Additionner les pourcentages successifs au lieu de multiplier les coefficients.
- Appliquer la linéarité à une fonction affine : pour
f(x) = 2x + 1,f(2) = 5n’est pas le double def(1) = 3.
Questions fréquentes
Comment reconnaître une fonction linéaire ?
Son expression est de la forme ax, sans terme constant, et sa droite passe par l’origine. Dans un tableau de valeurs, le quotient f(x)/x est toujours le même.
Comment trouver le coefficient d’une fonction linéaire ?
On divise une image par son antécédent : a = f(x)/x. Graphiquement, a est l’ordonnée du point d’abscisse 1.
Une fonction linéaire peut-elle être décroissante ?
Oui, si son coefficient est négatif : f(x) = −2x est décroissante.
Toute situation de proportionnalité est-elle une fonction linéaire ?
Oui : si y est proportionnel à x avec le coefficient a, alors y = ax, et la fonction x ↦ ax est linéaire.