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La fonction affine
Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. Sa courbe est une droite : a est le coefficient directeur (la pente) et b l’ordonnée à l’origine. Elle est croissante si a > 0, décroissante si a < 0.
Mis à jour le 4 min de lecture
La fonction affine modélise toutes les situations où une quantité varie régulièrement : un abonnement fixe plus un prix par unité, un taxi avec prise en charge et prix au kilomètre, une température qui monte de 2 °C par heure. C’est la première fonction étudiée en détail au collège et la brique de base de l’analyse : la dérivée consiste justement à approcher une courbe par une fonction affine (voir les fonctions).
La représentation graphique : une droite
La courbe d’une fonction affine est une droite d’équation y = ax + b.
- Elle coupe l’axe des ordonnées au point (0 ; b).
- Quand x augmente de 1, y varie de a.
- Pour la tracer, deux points suffisent : on calcule f pour deux valeurs de x.
| Fonction | a | b | Droite |
|---|---|---|---|
f(x) = 3x + 1 | 3 | 1 | Monte fortement, passe par (0 ; 1) |
f(x) = −x + 4 | −1 | 4 | Descend, passe par (0 ; 4) |
f(x) = 0,5x | 0,5 | 0 | Linéaire, passe par l’origine |
f(x) = 5 | 0 | 5 | Horizontale |
Les droites verticales (x = 3) ne représentent pas des fonctions : à une valeur de x correspondraient une infinité d’images.
Le coefficient directeur
Sa signification
a est le taux d’accroissement, constant pour une fonction affine : pour tous x₁ ≠ x₂,
a = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁).
C’est la variation de y divisée par la variation de x : « de combien monte la droite quand on avance de 1 ».
Trouver f à partir de deux points
Lire a et b sur un graphique
- b se lit à l’intersection avec l’axe des ordonnées.
- a se lit en partant d’un point de la droite : on avance de 1 horizontalement et on compte de combien on monte (a > 0) ou on descend (a < 0).
Sens de variation et signe
| Coefficient | Variation |
|---|---|
| a > 0 | f strictement croissante |
| a < 0 | f strictement décroissante |
| a = 0 | f constante |
f(x) = ax + b s’annule en x = −b/a (si a ≠ 0). Elle est du signe de a à droite de cette valeur et du signe contraire à gauche (voir le tableau de signes).
Résoudre avec des fonctions affines
Antécédent
Trouver l’antécédent de 7 par f(x) = 2x − 3, c’est résoudre 2x − 3 = 7, soit x = 5 (voir résoudre une équation).
Intersection de deux droites
Les droites y = ax + b et y = a'x + b' :
- sont parallèles si
a = a'(même pente) ; - se coupent en un point unique si
a ≠ a', obtenu en résolvantax + b = a'x + b'(voir les systèmes d’équations).
Fonction affine et proportionnalité
Une fonction affine traduit une situation de proportionnalité seulement si b = 0 : c’est alors une fonction linéaire. Avec b ≠ 0, les accroissements sont proportionnels (y augmente de a pour chaque unité de x), mais pas les valeurs elles-mêmes : un taxi à 4 € de prise en charge et 2 € par km coûte 24 € pour 10 km mais 44 € pour 20 km : doubler la distance ne double pas le prix. Voir la proportionnalité.
Les suites arithmétiques sont la version « discrète » des fonctions affines : uₙ = u₀ + nr (voir les suites numériques).
Erreurs fréquentes
- Confondre a et b : dans
f(x) = 5 − 2x, a = −2 et b = 5. - Inverser le calcul de a : c’est
Δy / Δx, pasΔx / Δy. - Croire qu’une fonction affine est proportionnelle : seulement si b = 0.
- Prendre une droite verticale pour une fonction.
Questions fréquentes
Comment trouver l’expression d’une fonction affine ?
À partir de deux points, on calcule a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), puis b en remplaçant les coordonnées d’un des points dans y = ax + b.
Quelle est la différence entre fonction affine et linéaire ?
Une fonction linéaire f(x) = ax est une fonction affine particulière, avec b = 0. Sa droite passe par l’origine.
Une fonction constante est-elle affine ?
Oui : c’est le cas a = 0. Sa courbe est une droite horizontale.
Comment savoir si une fonction affine est croissante ?
Elle est croissante si son coefficient directeur a est positif, décroissante s’il est négatif.