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La fonction carré
La fonction carré associe à tout réel x son carré x². Sa courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; elle décroît sur ]−∞ ; 0], croît sur [0 ; +∞[ et a pour minimum 0.
Mis à jour le 3 min de lecture
La fonction carré est la plus simple des fonctions non affines. Sa courbe, la parabole, se retrouve dans la trajectoire d’un ballon lancé, la forme des antennes paraboliques ou des miroirs de phares. Toutes les fonctions du second degré ax² + bx + c ont une courbe de même forme, déplacée et étirée (voir l'équation du second degré).
Tableau de valeurs
| x | −3 | −2 | −1 | −0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 9 | 4 | 1 | 0,25 | 0 | 0,25 | 1 | 4 | 9 |
Deux nombres opposés ont le même carré : (−3)² = 3² = 9. Un carré est toujours positif ou nul.
Les propriétés
Parité
f(−x) = (−x)² = x² = f(x) : la fonction carré est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Sens de variation
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| x² | décroissante | 0 | croissante |
- Sur
]−∞ ; 0], f est décroissante : si a < b ≤ 0, alorsa² > b². - Sur
[0 ; +∞[, f est croissante : si 0 ≤ a < b, alorsa² < b². - Son minimum est 0, atteint en 0. Elle n’a pas de maximum.
Voir le tableau de variations pour la méthode générale.
Dérivée et limites
- Dérivée :
f′(x) = 2x, négative pour x < 0 et positive pour x > 0, ce qui confirme les variations (voir les dérivées). - Limites :
x²tend vers +∞ quand x tend vers +∞ ou vers −∞ (voir les limites de fonctions). - La fonction carré est convexe : sa courbe est au-dessus de ses tangentes (voir la convexité).
Résoudre x² = k
| Valeur de k | Solutions |
|---|---|
| k > 0 | Deux solutions : √k et −√k |
| k = 0 | Une solution : 0 |
| k < 0 | Aucune solution réelle |
Graphiquement, on cherche les abscisses des points d’intersection de la parabole avec la droite horizontale y = k.
Résoudre x² < k et x² > k
Pour k > 0 :
x² < kéquivaut à−√k < x < √k;x² > kéquivaut àx < −√koux > √k.
Le piège classique : déduire de x² < 9 que x < 3. C’est incomplet, car −5 vérifie x < 3 mais (−5)² = 25 > 9.
Comparer des carrés
- Si 0 ≤ a < b, alors
a² < b²(même ordre). - Si a < b ≤ 0, alors
a² > b²(ordre inversé). - Si a et b sont de signes contraires, on ne peut pas conclure directement : on compare leurs valeurs absolues.
Pour un nombre entre 0 et 1, le carré est plus petit que le nombre : 0,5² = 0,25. Pour un nombre supérieur à 1, il est plus grand.
Les fonctions associées à la fonction carré
| Fonction | Transformation de la parabole y = x² |
|---|---|
x² + 3 | Translation de 3 vers le haut |
(x − 2)² | Translation de 2 vers la droite |
2x² | Étirement vertical (parabole plus étroite) |
−x² | Symétrie par rapport à l’axe des abscisses (ouverte vers le bas) |
a(x − α)² + β | Parabole de sommet (α ; β) |
Erreurs fréquentes
- Écrire
(−3)² = −9: c’est 9. En revanche−3² = −9(voir les puissances). - Oublier la solution négative de
x² = k. - Dire que la fonction carré est croissante sans préciser l’intervalle.
- Croire qu’un carré est plus grand que le nombre : faux entre 0 et 1.
Questions fréquentes
Pourquoi la courbe de la fonction carré s’appelle-t-elle une parabole ?
Le terme vient des coniques étudiées par les géomètres grecs (Apollonius) : la parabole est l’intersection d’un cône avec un plan parallèle à l’une de ses génératrices. La courbe y = x² en est un exemple.
La fonction carré est-elle croissante ?
Pas sur tout ℝ : elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[.
Combien de solutions a l’équation x² = 5 ?
Deux : √5 ≈ 2,236 et −√5.
La fonction carré a-t-elle un maximum ?
Non. Elle a un minimum, 0, en x = 0, mais ses valeurs deviennent aussi grandes qu’on veut.