Les systèmes d’équations

Dès qu’un problème comporte deux inconnues liées par deux informations — le prix de deux articles, l’âge de deux personnes, la composition d’un mélange —, on obtient un système. Résoudre un système, c’est trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient simultanément toutes les équations. Pour les équations à une inconnue, voir résoudre une équation.

Méthode 1 : la substitution

1. Dans l’une des équations, isoler une inconnue (choisir celle dont le coefficient vaut 1 ou −1).
2. Remplacer cette inconnue dans l’autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.
3. La résoudre, puis revenir à l’expression de l’étape 1 pour trouver l’autre inconnue.
4. Vérifier dans les deux équations.

Méthode 2 : la combinaison (élimination)

1. Multiplier les équations par des nombres choisis pour que les coefficients d’une inconnue deviennent opposés.
2. Additionner membre à membre : cette inconnue disparaît.
3. Résoudre, puis remplacer pour trouver l’autre inconnue.

Quelle méthode choisir ? La substitution est rapide si une inconnue a un coefficient 1 ou −1. Sinon, la combinaison évite les fractions.

Méthode 3 : la lecture graphique

Chaque équation ax + by = c (avec b ≠ 0) représente une droite : y = (c − ax)/b, une fonction affine. La solution du système est le point d’intersection des deux droites.

La lecture graphique donne une solution approchée ; on la confirme par le calcul.

Combien de solutions ?

Algébriquement, on calcule le déterminant D = ab' − a'b.

• Si D ≠ 0, il y a une solution unique : x = (cb' − c'b)/D et y = (ac' − a'c)/D (formules de Cramer).
• Si D = 0, il y a zéro ou une infinité de solutions : en résolvant, on tombe sur une égalité fausse (0 = 3) ou toujours vraie (0 = 0).

Mettre un problème en système

Méthode : définir clairement les inconnues, écrire une équation par information, résoudre, vérifier et répondre par une phrase.

Systèmes à trois inconnues et plus

Avec trois inconnues, il faut en général trois équations. La méthode du pivot de Gauss généralise la combinaison : on élimine x des équations 2 et 3, puis y de l’équation 3, et l’on « remonte ».

Les grands systèmes (des milliers d’inconnues en ingénierie ou en météorologie) se traitent avec les matrices et des algorithmes informatiques.

Erreurs fréquentes

• Ne donner qu’une inconnue : la solution est un couple.
• Oublier de multiplier tous les termes, y compris le second membre, dans une combinaison.
• Erreur de signe en soustrayant deux équations : mieux vaut multiplier par un négatif puis additionner.
• Ne pas vérifier dans les deux équations.

Questions fréquentes

Comment résoudre un système de deux équations ?

Par substitution (isoler une inconnue et la remplacer) ou par combinaison (additionner des multiples des équations pour éliminer une inconnue). On vérifie toujours le couple trouvé.

Un système peut-il avoir une infinité de solutions ?

Oui, quand les deux équations sont proportionnelles : elles décrivent la même droite. Tous les points de cette droite sont solutions.

Comment savoir si un système n’a pas de solution ?

Si le déterminant ab' − a'b est nul et qu’en résolvant on obtient une égalité impossible, comme 0 = 5. Graphiquement, les droites sont parallèles.

Quelle est la meilleure méthode ?

Celle qui évite les fractions : la substitution si un coefficient vaut 1 ou −1, la combinaison sinon.