Sciences · Mathématiques
Les dérivées
La dérivée d’une fonction f en un point mesure la vitesse à laquelle f varie en ce point : c’est la pente de la tangente à sa courbe. Elle sert à étudier les variations et à trouver les extremums.
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Le calcul différentiel, inventé indépendamment par Isaac Newton (vers 1665-1666, publié plus tard) et Gottfried Wilhelm Leibniz (publication en 1684), est l’un des outils les plus puissants des mathématiques. La vitesse d’une voiture est la dérivée de sa position par rapport au temps ; son accélération, la dérivée de sa vitesse. La dérivée permet de trouver le maximum d’un bénéfice, le minimum d’un coût, et de décrire tous les phénomènes qui évoluent. La notation dy/dx, encore utilisée, est celle de Leibniz ; la notation f′(x) est due à Lagrange.
Ce que représente la dérivée
Une pente
Le quotient [f(a + h) − f(a)] / h est la pente de la droite qui passe par deux points de la courbe. Quand h devient très petit, cette droite se rapproche de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. Le nombre dérivé f′(a) est la pente de cette tangente.
Équation de la tangente en a : y = f′(a) × (x − a) + f(a)
Une vitesse instantanée
Si d(t) est la distance parcourue au temps t, la vitesse moyenne entre t et t + h vaut [d(t + h) − d(t)] / h. Quand h tend vers 0, on obtient la vitesse instantanée : v(t) = d′(t). De même, l’accélération est a(t) = v′(t), ce qui intervient dans les lois de Newton.
Tableau des dérivées usuelles
| Fonction f(x) | Dérivée f′(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| ax + b | a | ℝ |
| x² | 2x | ℝ |
| x³ | 3x² | ℝ |
| xⁿ (n entier) | n xⁿ⁻¹ | ℝ (ℝ* si n < 0) |
| 1/x | −1/x² | ℝ* |
| √x | 1 / (2√x) | ]0 ; +∞[ |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln x | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | −sin x | ℝ |
| tan x | 1 + tan² x = 1 / cos² x | où cos x ≠ 0 |
Les règles de calcul
u et v sont deux fonctions dérivables, k un nombre réel.
| Opération | Formule |
|---|---|
| Somme | (u + v)′ = u′ + v′ |
| Produit par une constante | (k × u)′ = k × u′ |
| Produit | (u × v)′ = u′v + uv′ |
| Inverse | (1/v)′ = −v′ / v² |
| Quotient | (u / v)′ = (u′v − uv′) / v² |
| Puissance | (uⁿ)′ = n × u′ × uⁿ⁻¹ |
| Composée exponentielle | (eᵘ)′ = u′ × eᵘ |
| Composée logarithme | (ln u)′ = u′ / u |
| Composée générale | (g ∘ u)′ = u′ × g′(u) |
Étudier les variations d’une fonction
Le théorème clé relie le signe de la dérivée au sens de variation :
- si
f′(x) > 0sur un intervalle, f y est croissante ; - si
f′(x) < 0, f est décroissante ; - si f′ s’annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local (maximum ou minimum) en a.
Méthode :
- Calculer f′(x).
- Étudier son signe (factoriser, résoudre f′(x) = 0 : voir les équations).
- Dresser le tableau de variations de f.
- Calculer les valeurs des extremums.
Optimisation : un exemple concret
Dérivée et intégrale
L’opération inverse de la dérivation est l'intégration (calcul de primitives). Le théorème fondamental de l’analyse, établi par Newton et Leibniz, relie les deux : intégrer une fonction revient à calculer l’aire sous sa courbe. Pour leur contexte historique, voir les grands mathématiciens.
Questions fréquentes
À quoi sert une dérivée concrètement ?
À mesurer une vitesse de variation (vitesse, débit, croissance d’une population, coût marginal en économie) et à trouver des maximums ou minimums (optimiser un profit, minimiser une quantité de matériau).
Quelle est la dérivée de x² ?
2x. Plus généralement, la dérivée de xⁿ est n xⁿ⁻¹ : on « descend » l’exposant devant et on le diminue de 1.
Une fonction est-elle toujours dérivable ?
Non. La valeur absolue n’est pas dérivable en 0 (la courbe forme un angle, il n’y a pas de tangente unique), et la racine carrée n’est pas dérivable en 0 (tangente verticale). Une fonction dérivable est toujours continue, mais l’inverse est faux.
Que signifie f′(a) = 0 ?
La tangente à la courbe au point d’abscisse a est horizontale. C’est souvent un maximum ou un minimum, mais pas toujours : pour f(x) = x³, f′(0) = 0 alors que la fonction est croissante partout.