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Le produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est un nombre réel, noté u · v. Il vaut ||u|| × ||v|| × cos(u, v) et, en repère orthonormé, xx′ + yy′. Il est nul si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
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Le produit scalaire est au programme de première spécialité, en géométrie plane, puis étendu à l’espace en terminale. Il transforme des questions d’angles et de perpendicularité en calculs. En physique, c’est lui qui donne le travail d’une force : W = F · AB. La notion de vecteur est un prérequis.
Les quatre expressions
| Expression | Formule | Quand l’utiliser |
|---|---|---|
| Avec l’angle | u · v = ||u|| × ||v|| × cos θ | angle connu |
| En coordonnées (repère orthonormé) | u · v = xx′ + yy′ | coordonnées connues |
| Avec les normes | u · v = ½ (||u + v||² − ||u||² − ||v||²) | trois longueurs connues |
| Par projection | AB · AC = AB × AH (H projeté de C sur (AB)) | figure avec hauteur |
Pour la projection, le produit est positif si H est du même côté que B par rapport à A, négatif sinon.
Exemple en coordonnées
u(3 ; −2) et v(4 ; 5) : u · v = 3 × 4 + (−2) × 5 = 12 − 10 = 2.
Normes : ||u|| = √13, ||v|| = √41. Donc cos θ = 2 / (√13 × √41) ≈ 0,087, soit θ ≈ 85°.
Exemple avec l’angle
||u|| = 4, ||v|| = 5, angle 60° : u · v = 4 × 5 × cos 60° = 20 × 0,5 = 10.
L’orthogonalité
u · v = 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux (ou l’un est nul). C’est le test de perpendicularité le plus rapide.
Exemple : u(2 ; 3) et v(−6 ; 4) : −12 + 12 = 0. Les vecteurs sont orthogonaux, les droites qu’ils dirigent sont perpendiculaires.
Signe du produit scalaire
| Angle θ | cos θ | Produit scalaire |
|---|---|---|
| aigu (< 90°) | > 0 | positif |
| droit (90°) | 0 | nul |
| obtus (> 90°) | < 0 | négatif |
Les propriétés de calcul
- Symétrie :
u · v = v · u. - Bilinéarité :
u · (v + w) = u · v + u · wet(ku) · v = k(u · v). - Carré scalaire :
u · u = ||u||². - Identités :
||u + v||² = ||u||² + 2u · v + ||v||², analogue des identités remarquables.
Le théorème d’Al-Kashi
Dans un triangle ABC avec a = BC, b = AC, c = AB :
a² = b² + c² − 2bc × cos Â
C’est une généralisation du théorème de Pythagore : si  = 90°, le cosinus est nul et l’on retrouve a² = b² + c². Exemple : b = 5, c = 7,  = 60°, donc a² = 25 + 49 − 35 = 39, a ≈ 6,24.
Applications
- Équation de droite : la droite passant par A et de vecteur normal
n(a ; b)a une équationax + by + c = 0(voir équation de droite). - Équation de cercle : M est sur le cercle de diamètre [AB] si et seulement si
MA · MB = 0. - Calcul d’angles dans une figure à partir des coordonnées.
- Physique : travail d’une force, puissance.
Erreurs fréquentes
- Écrire le résultat comme un vecteur : le produit scalaire est un nombre.
- Utiliser xx′ + yy′ dans un repère non orthonormé.
- Calculatrice en mauvais mode (degrés ou radians) pour le cosinus.
- Oublier le signe dans la formule de projection.
- Confondre avec la colinéarité : colinéaires se teste avec
xy′ − x′y = 0, orthogonaux avecxx′ + yy′ = 0.
Exercice corrigé
A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(2 ; −1).
AB(3 ; 1)etAC(1 ; −3).AB · AC = 3 × 1 + 1 × (−3) =0.- Conclusion : le triangle ABC est rectangle en A.
||AB|| = √10,||AC|| = √10: il est aussi isocèle en A.- Avec
||u|| = 3,||v|| = 2etu · v = −3:cos θ = −3/6 = −0,5, donc θ = 120°.
Questions fréquentes
Le produit scalaire est-il un vecteur ?
Non, c’est un nombre réel (un scalaire), d’où son nom. Il peut être positif, négatif ou nul.
Comment calculer un produit scalaire avec des coordonnées ?
Dans un repère orthonormé, on multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, et on additionne : xx′ + yy′.
Comment montrer que deux droites sont perpendiculaires ?
On prend un vecteur directeur de chacune et on vérifie que leur produit scalaire est nul.
À quoi sert le produit scalaire ?
À calculer des angles et des longueurs, démontrer des perpendicularités, obtenir des équations de droites et de cercles, et, en physique, calculer le travail d’une force.