Variable aléatoire et loi de probabilité

Les variables aléatoires sont au programme de première spécialité, et reprises en terminale avec la loi binomiale et les sommes de variables. Elles permettent de passer des probabilités d’événements à des nombres : gain d’un jeu, nombre de succès, durée d’attente. On peut alors calculer une moyenne théorique et mesurer un risque.

Méthode pas à pas

1. Décrire l’expérience et ses issues (arbre ou tableau).
2. Déterminer les valeurs possibles de X.
3. Calculer P(X = xᵢ) pour chacune.
4. Présenter la loi dans un tableau et vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
5. Calculer l’espérance, puis éventuellement la variance et l’écart-type.

Exemple : un jeu de dé

On paie 2 € pour lancer un dé équilibré. On gagne 10 € si l’on obtient 6, 3 € si l’on obtient 4 ou 5, rien sinon. X est le gain algébrique (gain moins mise).

Vérification : 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1.

L’espérance

E(X) = x₁ P(X = x₁) + x₂ P(X = x₂) + … + xₙ P(X = xₙ)

Pour le jeu : E(X) = −2 × 1/2 + 1 × 1/3 + 8 × 1/6 = −1 + 1/3 + 4/3 = 2/3 ≈ 0,67 €.

Interprétation : sur un grand nombre de parties, le joueur gagne en moyenne 0,67 € par partie. Le jeu est favorable au joueur. Si E(X) = 0, le jeu est dit équitable ; si E(X) < 0, il est défavorable. La fiche espérance mathématique approfondit cette notion, liée à la loi des grands nombres.

La variance et l’écart-type

La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance :

V(X) = Σ P(X = xᵢ) × (xᵢ − E(X))², ou plus simplement V(X) = E(X²) − E(X)².

L'écart-type est σ(X) = √V(X), dans la même unité que X.

Pour le jeu : E(X²) = 4 × 1/2 + 1 × 1/3 + 64 × 1/6 = 2 + 1/3 + 32/3 = 13. Donc V(X) = 13 − 4/9 ≈ 12,56 et σ(X) ≈ 3,54 €. L’écart-type, grand devant l’espérance, traduit un jeu risqué : les gains réels varient beaucoup d’une partie à l’autre. Voir aussi l'écart-type en statistiques.

Propriétés de calcul

Exemple : si l’on double tous les gains et qu’on ajoute un bonus de 1 €, E(2X + 1) = 2 × 2/3 + 1 ≈ 2,33 €.

Lois usuelles

• Loi de Bernoulli : deux valeurs, 1 (succès, probabilité p) et 0. E(X) = p, V(X) = p(1 − p).
• Loi binomiale B(n ; p) : nombre de succès sur n répétitions indépendantes. E(X) = np. Voir la loi binomiale.
• Loi uniforme : toutes les valeurs ont la même probabilité, comme un dé équilibré (E = 3,5).
• Pour des variables continues (tailles, durées), on utilise des densités, comme la loi normale.

Erreurs fréquentes

• Oublier la mise dans un gain algébrique.
• Somme des probabilités ≠ 1 : signe d’une issue oubliée.
• Confondre E(X) et la valeur la plus probable.
• Interpréter E(X) comme un gain garanti à chaque partie.
• Variance : oublier de mettre l’espérance au carré dans E(X²) − E(X)².

Exercice corrigé

Une urne contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 noires. On tire une boule : rouge rapporte 1 €, verte 4 €, noire fait perdre 5 €.

1. Loi : P(X = 1) = 0,5, P(X = 4) = 0,3, P(X = −5) = 0,2.
2. E(X) = 0,5 + 1,2 − 1 = 0,7 € : jeu favorable.
3. E(X²) = 0,5 + 4,8 + 5 = 10,3, V(X) = 10,3 − 0,49 = 9,81, σ ≈ 3,13 €.
4. Pour rendre le jeu équitable, on fait payer une mise de 0,70 €.

Questions fréquentes

Qu’est-ce qu’une loi de probabilité ?

C’est le tableau des valeurs que peut prendre une variable aléatoire, avec la probabilité de chacune. La somme de ces probabilités vaut 1.

Comment calculer l’espérance d’une variable aléatoire ?

On multiplie chaque valeur par sa probabilité et on additionne les résultats.

Que signifie une espérance négative ?

Qu’en moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd de l’argent. C’est le cas de tous les jeux de casino et de loterie, qui assurent le bénéfice de l’organisateur.

Quelle différence entre variance et écart-type ?

L’écart-type est la racine carrée de la variance. Il s’exprime dans la même unité que la variable, ce qui le rend plus facile à interpréter.