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Les limites de fonctions
La limite d’une fonction décrit la valeur dont f(x) s’approche quand x se rapproche d’un nombre ou devient infiniment grand. On la calcule avec des limites usuelles et des règles d’opérations, en levant les formes indéterminées.
Mis à jour le 4 min de lecture
Que devient 1/x quand x devient immense ? Et sin(x)/x quand x s’approche de 0, alors que la formule n’y a pas de sens ? Les limites répondent à ces questions. Elles fondent toute l’analyse : la dérivée est une limite, l'intégrale aussi. Leur définition rigoureuse, due notamment à Cauchy puis Weierstrass au XIXe siècle, a dissipé les paradoxes de l'infini.
Les limites usuelles
| Fonction | x → +∞ | x → −∞ | x → 0 |
|---|---|---|---|
x² | +∞ | +∞ | 0 |
x³ | +∞ | −∞ | 0 |
√x | +∞ | — | 0 |
1/x | 0 | 0 | +∞ (0⁺) ; −∞ (0⁻) |
1/x² | 0 | 0 | +∞ |
eˣ | +∞ | 0 | 1 |
ln x | +∞ | — | −∞ (0⁺) |
Les opérations sur les limites
Somme
| lim f | lim g | lim (f + g) |
|---|---|---|
| L | L' | L + L' |
| L | +∞ | +∞ |
| +∞ | +∞ | +∞ |
| +∞ | −∞ | Forme indéterminée |
Produit
| lim f | lim g | lim (f × g) |
|---|---|---|
| L | L' | L × L' |
| L ≠ 0 | ±∞ | ±∞ (règle des signes) |
| ±∞ | ±∞ | ±∞ (règle des signes) |
| 0 | ±∞ | Forme indéterminée |
Quotient
| lim f | lim g | lim (f / g) |
|---|---|---|
| L | L' ≠ 0 | L / L' |
| L | ±∞ | 0 |
| L ≠ 0 | 0 (avec un signe constant) | ±∞ |
| 0 | 0 | Forme indéterminée |
| ±∞ | ±∞ | Forme indéterminée |
Les quatre formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Elles ne signifient pas que la limite n’existe pas, mais qu’il faut transformer l’expression pour la trouver.
Lever une indétermination
Polynômes : factoriser par le terme dominant
Règle pratique : en ±∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
Fractions rationnelles : termes dominants
| Degrés | Limite en ±∞ |
|---|---|
| Numérateur < dénominateur | 0 |
| Degrés égaux | Quotient des coefficients dominants |
| Numérateur > dénominateur | ±∞ |
Factoriser et simplifier en un point
Utiliser la quantité conjuguée
Reconnaître un nombre dérivé
lim (f(x) − f(a))/(x − a) = f′(a). Ainsi lim (eˣ − 1)/x = 1 (dérivée de exp en 0) et lim sin(x)/x = 1 (dérivée de sin en 0).
Les croissances comparées
En +∞, l’exponentielle l’emporte sur les puissances, qui l’emportent sur le logarithme :
eˣ / xⁿ → +∞;ln(x) / x → 0;x eˣ → 0quand x → −∞ ;x ln x → 0quand x → 0⁺.
Voir la fonction exponentielle et le logarithme.
Les asymptotes
| Limite | Interprétation graphique |
|---|---|
lim f(x) = L en ±∞ | Asymptote horizontale y = L |
lim f(x) = ±∞ en a | Asymptote verticale x = a |
lim (f(x) − (ax + b)) = 0 en ±∞ | Asymptote oblique y = ax + b |
Le théorème des gendarmes
Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et si g et h ont la même limite L, alors f tend aussi vers L.
Erreurs fréquentes
- Conclure « ∞ − ∞ = 0 » ou « ∞/∞ = 1 » : ce sont des formes indéterminées.
- Oublier le signe de la limite d’un quotient quand le dénominateur tend vers 0.
- Remplacer x par ∞ dans une formule comme s’il s’agissait d’un nombre.
- Confondre limite et valeur : une fonction peut avoir une limite en un point où elle n’est pas définie.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une forme indéterminée ?
Une situation où les règles d’opérations ne permettent pas de conclure (∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0). Il faut factoriser, simplifier ou utiliser un théorème pour trouver la limite.
Une fonction a-t-elle toujours une limite ?
Non. sin x n’a pas de limite en +∞ : elle oscille sans cesse entre −1 et 1.
Comment calculer la limite d’un polynôme en l’infini ?
On prend la limite de son terme de plus haut degré : −2x⁴ + x³ tend vers −∞ en +∞.
Quelle différence entre limite de fonction et limite de suite ?
Une suite n’a de limite qu’en +∞, car n est un entier qui grandit. Une fonction peut avoir une limite en tout point ou en ±∞. Les règles de calcul sont les mêmes (voir la limite d’une suite).