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Les fonctions sinus et cosinus
Les fonctions sinus et cosinus associent à tout réel x les nombres sin x et cos x du cercle trigonométrique. Elles sont 2π-périodiques et à valeurs dans [−1 ; 1].
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Les fonctions trigonométriques sont étudiées en première (définition et courbes) et en terminale spécialité (dérivées, limites, équations). Elles modélisent tous les phénomènes périodiques : ondes sonores, courant alternatif, marées, mouvement d’un pendule, saisons. Elles prolongent le cercle trigonométrique.
Les propriétés en un tableau
| Propriété | Sinus | Cosinus |
|---|---|---|
| Ensemble de définition | ℝ | ℝ |
| Valeurs | [−1 ; 1] | [−1 ; 1] |
| Période | 2π | 2π |
| Parité | impaire : sin(−x) = −sin x | paire : cos(−x) = cos x |
| Valeur en 0 | 0 | 1 |
| Dérivée | cos x | −sin x |
La périodicité
sin(x + 2π) = sin x et cos(x + 2π) = cos x pour tout réel x. Il suffit d’étudier les fonctions sur un intervalle de longueur 2π, par exemple [−π ; π], puis de reproduire la courbe par translation. Grâce à la parité, on peut même se limiter à [0 ; π].
Les courbes : sinusoïdes
La courbe de sinus passe par (0 ; 0), monte jusqu’à (π/2 ; 1), redescend à (π ; 0), atteint (3π/2 ; −1) et revient à (2π ; 0). Elle est symétrique par rapport à l’origine.
La courbe de cosinus a la même forme, décalée : cos x = sin(x + π/2). Elle passe par (0 ; 1), (π/2 ; 0), (π ; −1). Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Variations sur [0 ; π]
| Fonction | Sur [0 ; π/2] | Sur [π/2 ; π] |
|---|---|---|
| sin x | croissante, de 0 à 1 | décroissante, de 1 à 0 |
| cos x | décroissante, de 1 à 0 | décroissante, de 0 à −1 |
Sinus est croissante sur [0 ; π/2] puis décroissante sur [π/2 ; π] ; cosinus est décroissante sur tout [0 ; π]. Voir le tableau de variations.
Les dérivées (terminale)
(sin x)′ = cos xet(cos x)′ = −sin x, à condition que x soit en radians.- Avec une composée :
(sin(ax + b))′ = a cos(ax + b)et(cos(ax + b))′ = −a sin(ax + b). - Limite remarquable :
sin x / xtend vers 1 quand x tend vers 0. C’est le nombre dérivé de sinus en 0.
Les fonctions sinusoïdales
En physique, on écrit f(t) = A sin(ωt + φ) :
- A est l’amplitude (valeurs entre −A et A) ;
- ω la pulsation, liée à la période par
T = 2π / ω; - φ la phase à l’origine.
Exemple : le courant du secteur en France a une fréquence de 50 Hz, donc une période de 0,02 s et une pulsation ω = 100π rad/s.
Résoudre une équation trigonométrique
sin x = 1/2 sur ℝ. Sur [0 ; 2π[, les solutions sont π/6 et π − π/6 = 5π/6. Sur ℝ : x = π/6 + 2kπ ou x = 5π/6 + 2kπ, avec k entier relatif.
Règle générale : sin x = sin a équivaut à x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ ; cos x = cos a équivaut à x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ.
Erreurs fréquentes
- Dériver en degrés : les formules de dérivation n’ont de sens qu’en radians.
- Oublier le signe moins de
(cos x)′ = −sin x. - Ne donner qu’une solution sur une période.
- Confondre période et amplitude dans
A sin(ωt). - Croire que sin x peut valoir 2 : ses valeurs sont dans
[−1 ; 1].
Exercice corrigé
- Période de
f(x) = sin(3x):2π/3. - Dérivée de
g(x) = cos(2x + 1): −2 sin(2x + 1). - Dérivée de
h(x) = x sin x: sin x + x cos x. - Résoudre
cos x = 0sur[0 ; 2π[: π/2 et 3π/2. - Valeurs extrêmes de
5 cos x − 2: entre −7 et 3.
Questions fréquentes
Quelle est la période des fonctions sinus et cosinus ?
2π : leurs courbes se répètent identiques tous les 2π. La fonction sin(ωx) a pour période 2π/ω.
Pourquoi cosinus est-elle paire ?
Parce que les points du cercle associés à x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses : ils ont la même abscisse, donc le même cosinus.
Quelle est la dérivée de sinus ?
(sin x)′ = cos x. Et (cos x)′ = −sin x. Dériver quatre fois sinus redonne sinus.
Quelle différence entre sinus et sinusoïde ?
Le sinus est un nombre (ou la fonction) ; une sinusoïde est une courbe de la forme y = A sin(ωx + φ), qui décrit une oscillation régulière.