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La continuité d’une fonction
Une fonction f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a. Intuitivement, sa courbe se trace sans lever le crayon. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, racine) sont continues sur leur ensemble de définition.
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La continuité exprime qu’une petite variation de x ne provoque qu’une petite variation de f(x) : pas de saut brutal. La température extérieure varie continûment au fil de la journée ; le prix d’un envoi postal, qui change par paliers selon le poids, ne le fait pas. Cette notion, précisée au XIXe siècle par Bolzano, Cauchy et Weierstrass, est la condition de théorèmes essentiels comme le théorème des valeurs intermédiaires.
L’image du crayon
Sur un intervalle, une fonction continue a une courbe « d’un seul tenant », que l’on peut tracer sans lever le crayon. Cette image est utile mais imparfaite : certaines fonctions continues ont des courbes extrêmement irrégulières, et il faut s’en tenir à la définition par les limites pour raisonner.
Les fonctions continues usuelles
| Fonction | Continue sur |
|---|---|
| Polynômes (affines, carré, cube…) | ℝ |
1/x | ]−∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[ |
| Fractions rationnelles | Chaque intervalle de leur ensemble de définition |
√x | [0 ; +∞[ |
eˣ | ℝ |
ln x | ]0 ; +∞[ |
sin x, cos x | ℝ |
Valeur absolue abs(x) | ℝ |
Opérations : sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues. Cela permet d’affirmer, par exemple, que f(x) = e^(x²) + 3x est continue sur ℝ sans aucun calcul.
Les discontinuités
Le saut : la fonction partie entière
La partie entière E(x) est le plus grand entier inférieur ou égal à x : E(2,7) = 2, E(−1,3) = −2. Sa courbe est un escalier. En x = 1, E(x) = 0 juste avant et E(1) = 1 : la limite à gauche (0) diffère de f(1). E est discontinue en chaque entier.
La fonction définie par morceaux
Les valeurs interdites
1/x n’est pas définie en 0 : la question de la continuité en 0 ne se pose pas. Elle est continue sur chacun de ses intervalles de définition. Ne pas confondre « discontinue » et « non définie ».
Les grands théorèmes des fonctions continues
- Théorème des valeurs intermédiaires : une fonction continue sur [a ; b] prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). C’est la base de la résolution approchée d’équations (voir le théorème des valeurs intermédiaires).
- Théorème des bornes : une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a ; b] y est bornée et atteint son minimum et son maximum.
- Intégration : toute fonction continue sur [a ; b] admet des primitives et une intégrale.
- Suites : si
uₙ₊₁ = f(uₙ)converge vers L et que f est continue en L, alorsf(L) = L(voir la limite d’une suite).
Continuité et dérivabilité
| Propriété | Vraie ? |
|---|---|
| Dérivable en a ⇒ continue en a | Oui |
| Continue en a ⇒ dérivable en a | Non |
Contre-exemples à la réciproque :
- la valeur absolue, continue en 0 mais dont la courbe présente un point anguleux ;
√x, continue en 0 mais avec une tangente verticale (le taux d’accroissement tend vers +∞).
En 1872, Weierstrass a même présenté une fonction continue partout et dérivable nulle part, dont la courbe ressemble à une ligne brisée infiniment fine. Elle a montré que l’intuition géométrique ne suffit pas (voir les dérivées).
Erreurs fréquentes
- Dire que 1/x est discontinue en 0 : elle n’y est pas définie.
- Vérifier une seule limite pour une fonction par morceaux : il faut comparer limite à gauche, limite à droite et valeur.
- Déduire la dérivabilité de la continuité.
- Croire qu’une fonction continue est forcément « lisse ».
Questions fréquentes
Comment montrer qu’une fonction est continue ?
On montre qu’elle est construite par opérations (somme, produit, quotient, composée) à partir de fonctions continues usuelles. Pour une fonction par morceaux, on vérifie en plus les points de raccord.
Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?
Non. La valeur absolue est continue en 0 mais pas dérivable en ce point. En revanche, toute fonction dérivable est continue.
Que signifie « tracer sans lever le crayon » ?
C’est l’image intuitive de la continuité sur un intervalle : la courbe n’a ni saut ni trou.
La fonction partie entière est-elle continue ?
Elle est continue sur chaque intervalle [n ; n + 1[ mais discontinue en chaque entier, où elle fait un saut de 1.