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L’équation du second degré
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, il y a deux solutions (−b ± √Δ)/2a ; si Δ = 0, une seule, −b/2a ; si Δ < 0, aucune solution réelle.
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Le second degré est un chapitre central du lycée (première en France). Il ne se limite pas à la formule du discriminant : la même étude du trinôme ax² + bx + c donne ses racines, sa forme factorisée, son signe et l’allure de sa courbe, une parabole. Pour les équations du premier degré et les systèmes, voir résoudre une équation.
La forme canonique : d’où vient la formule
Tout trinôme s’écrit f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α) = −Δ/(4a).
En général, ax² + bx + c = a[(x + b/2a)² − Δ/4a²]. Résoudre f(x) = 0 revient à résoudre (x + b/2a)² = Δ/4a², ce qui n’a de solution que si Δ ≥ 0 : c’est l’origine des trois cas.
Les trois cas selon Δ
| Signe de Δ | Racines | Forme factorisée |
|---|---|---|
| Δ > 0 | x₁ = (−b − √Δ)/2a et x₂ = (−b + √Δ)/2a | a(x − x₁)(x − x₂) |
| Δ = 0 | x₀ = −b/2a (racine double) | a(x − x₀)² |
| Δ < 0 | Aucune racine réelle | Pas de factorisation dans ℝ |
Quand ne pas utiliser Δ
- b = 0 :
x² − 7 = 0donne directementx = ±√7. - c = 0 :
3x² − 5x = 0se factorise enx(3x − 5) = 0. - Racine évidente : si 1 est racine (a + b + c = 0), l’autre vaut
c/a. Pourx² + 4x − 5, 1 est racine et l’autre est −5. - Identité remarquable visible (voir les identités remarquables).
Somme et produit des racines
Si Δ ≥ 0 : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Utile pour vérifier ses racines ou trouver deux nombres connaissant leur somme S et leur produit P : ce sont les racines de x² − Sx + P = 0.
Le signe du trinôme
Règle : le trinôme est du signe de a, sauf entre ses racines (quand elles existent).
| Cas | Signe de f(x) |
|---|---|
| Δ < 0 | Toujours du signe de a |
| Δ = 0 | Du signe de a, et nul en x₀ |
| Δ > 0 | Du signe de a à l’extérieur des racines, du signe opposé entre x₁ et x₂ |
La parabole
La courbe de y = ax² + bx + c est une parabole, de même forme que celle de la fonction carré, décalée et étirée.
- Sommet :
S(α ; β), avecα = −b/2a. C’est un minimum si a > 0, un maximum si a < 0. - Axe de symétrie : la droite verticale
x = α, à mi-chemin des racines. - Ouverture : vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
- Intersections avec l’axe des abscisses : les racines (2, 1 ou 0 points selon Δ). Avec l’axe des ordonnées : le point (0 ; c).
Erreurs fréquentes
- Oublier que a ≠ 0 : sinon l’équation est du premier degré.
- Se tromper de signe dans Δ quand b ou c sont négatifs : pour b = −3,
b² = 9. - Oublier le facteur a dans la factorisation :
2x² − 3x − 2 ≠ (x + 1/2)(x − 2). - Diviser par 2 seulement √Δ : la formule est
(−b ± √Δ)/(2a), le tout divisé par 2a. - Inverser le signe du trinôme entre et hors des racines.
Questions fréquentes
Que signifie un discriminant négatif ?
L’équation n’a pas de solution réelle : la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses. Le trinôme garde alors toujours le signe de a.
Comment trouver le sommet d’une parabole ?
Son abscisse est α = −b/(2a) et son ordonnée β = f(α). Pour x² − 6x + 5 : α = 3 et β = −4.
Pourquoi l’appelle-t-on discriminant ?
Parce qu’il « discrimine », c’est-à-dire distingue, les trois cas possibles pour le nombre de solutions.
Peut-on résoudre sans discriminant ?
Oui, avec la forme canonique, une factorisation directe, une racine évidente ou une identité remarquable. Le discriminant est la méthode systématique.