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Fonctions paires et impaires
Une fonction est paire si f(−x) = f(x), impaire si f(−x) = −f(x), sur un ensemble symétrique par rapport à 0. Sa courbe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ou à l’origine.
Mis à jour le 3 min de lecture
La parité est étudiée en seconde avec les fonctions de référence et reprise en première et terminale (fonctions trigonométriques). Elle a un intérêt pratique : si une fonction est paire ou impaire, il suffit de l’étudier sur [0 ; +∞[, puis de compléter sa courbe par symétrie.
Interprétation graphique
| Parité | Relation | Symétrie de la courbe | Exemple |
|---|---|---|---|
| Paire | f(−x) = f(x) | axe des ordonnées | x², |x|, cos x |
| Impaire | f(−x) = −f(x) | origine du repère (symétrie centrale) | x³, 1/x, sin x |
Le nom vient des puissances : xⁿ est paire si n est pair, impaire si n est impair. Voir les fonctions carré et cube.
Méthode pour étudier la parité
- Vérifier l’ensemble de définition : il doit être symétrique par rapport à 0. Sinon, f n’est ni paire ni impaire.
[−2 ; 2]et ℝ conviennent ;[−1 ; 3]ou[0 ; +∞[non. - Calculer f(−x) en remplaçant x par (−x), avec parenthèses.
- Simplifier et comparer à f(x) et à −f(x).
- Conclure : f(−x) = f(x) → paire ; f(−x) = −f(x) → impaire ; sinon, ni l’un ni l’autre, et on le prouve par un contre-exemple numérique.
Exemples chiffrés
f(x) = 3x⁴ − x² + 5 sur ℝ : f(−x) = 3(−x)⁴ − (−x)² + 5 = 3x⁴ − x² + 5 = f(x). f est paire.
g(x) = x³ − 4x sur ℝ : g(−x) = (−x)³ − 4(−x) = −x³ + 4x = −(x³ − 4x) = −g(x). g est impaire.
h(x) = x² + x sur ℝ : h(1) = 2 et h(−1) = 0. Comme h(−1) ≠ h(1), h n’est pas paire ; comme h(−1) ≠ −h(1), h n’est pas impaire. h n’est ni paire ni impaire.
k(x) = 1/x sur ℝ* (ensemble symétrique) : k(−x) = −1/x = −k(x). k est impaire (voir fonction inverse).
Propriétés utiles
- Une fonction impaire définie en 0 vérifie
f(0) = 0, carf(0) = −f(0). - La seule fonction à la fois paire et impaire sur un ensemble symétrique est la fonction nulle.
- Somme de deux fonctions paires : paire. Produit de deux fonctions impaires : paire. Produit d’une paire et d’une impaire : impaire.
- Toute fonction définie sur un ensemble symétrique s’écrit de façon unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
À quoi sert la parité ?
- Réduire l’étude : on étudie f sur
[0 ; +∞[, puis on déduit le reste par symétrie. Les variations d’une fonction paire s’inversent de part et d’autre de 0 ; celles d’une fonction impaire se conservent. - Simplifier des intégrales (terminale) : l’intégrale d’une fonction impaire sur
[−a ; a]est nulle. - Vérifier une courbe tracée à la calculatrice.
Erreurs fréquentes
- Oublier l’ensemble de définition :
x²sur[−1 ; 3]n’est pas paire. - Conclure « impaire » parce que f n’est pas paire : la plupart des fonctions ne sont ni l’une ni l’autre.
- Vérifier sur un seul exemple pour prouver la parité : un exemple suffit pour réfuter, pas pour démontrer.
- Signe de (−x)ⁿ :
(−x)³ = −x³mais(−x)² = x². - Confondre −f(x) et f(−x).
Exercice corrigé
f(x) = x² − 7sur ℝ →f(−x) = x² − 7→ paire.g(x) = 5x − x⁵sur ℝ →g(−x) = −5x + x⁵ = −g(x)→ impaire.h(x) = x³ + 1sur ℝ →h(1) = 2,h(−1) = 0→ ni paire ni impaire.k(x) = x / (x² + 1)sur ℝ →k(−x) = −x / (x² + 1) = −k(x)→ impaire.m(x) = √x→ ensemble[0 ; +∞[non symétrique → ni paire ni impaire.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?
On vérifie que l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0, puis on calcule f(−x) et on le compare à f(x) et à −f(x).
Une fonction peut-elle n’être ni paire ni impaire ?
Oui, c’est même le cas le plus fréquent : x² + x ou eˣ ne sont ni paires ni impaires.
Comment voir la parité sur la courbe ?
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (comme une parabole y = x²) ; une fonction impaire a une courbe symétrique par rapport à l’origine.
La fonction cosinus est-elle paire ?
Oui : cos(−x) = cos x. La fonction sinus est impaire : sin(−x) = −sin x. Voir les fonctions sinus et cosinus.