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La fonction racine carrée
La fonction racine carrée associe à tout réel positif ou nul x le nombre √x, l’unique nombre positif dont le carré vaut x. Elle est définie sur [0 ; +∞[, croissante, et sa courbe est une demi-parabole couchée.
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La fonction racine carrée est l’une des fonctions de référence de seconde, avec les fonctions affine, carré, inverse et cube. Elle prolonge la notion de racine carrée d’un nombre, vue en 4e, et sa dérivée est étudiée en première.
Tableau de valeurs
| x | 0 | 0,25 | 1 | 2 | 4 | 9 | 16 | 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| √x | 0 | 0,5 | 1 | ≈ 1,41 | 2 | 3 | 4 | 5 |
La courbe
Elle part de l’origine O(0 ; 0), passe par (1 ; 1), (4 ; 2), (9 ; 3), et monte de plus en plus lentement. C’est la moitié supérieure d’une parabole « couchée » : elle est symétrique de la demi-branche droite de la parabole y = x² par rapport à la droite y = x. En O, la courbe a une tangente verticale.
Les propriétés
- Ensemble de définition :
[0 ; +∞[. On ne prend pas la racine carrée d’un nombre négatif (dans les réels). - Signe :
√x ≥ 0pour tout x de l’ensemble de définition. - Sens de variation : strictement croissante sur
[0 ; +∞[. Si0 ≤ a < b, alors√a < √b. - Limite :
√xtend vers+∞quand x tend vers+∞, mais très lentement : il faut x = 1 000 000 pour atteindre 1 000.
Comparer x, x² et √x
| Intervalle | Ordre |
|---|---|
0 < x < 1 | x² < x < √x |
x = 0 ou x = 1 | x² = x = √x |
x > 1 | √x < x < x² |
Exemple : pour x = 0,25, on a 0,0625 < 0,25 < 0,5. Pour x = 4, 2 < 4 < 16. Cette comparaison est un exercice classique de seconde, démontré en étudiant le signe de x − √x = √x(√x − 1).
Règles de calcul utiles
√(a × b) = √a × √bpour a, b ≥ 0 ;√(a / b) = √a / √bpour a ≥ 0 et b > 0 ;- mais
√(a + b) ≠ √a + √ben général :√(9 + 16) = 5, alors que√9 + √16 = 7. √(x²) = |x|pour tout réel x, avec la valeur absolue :√((−3)²) = 3.
Résoudre une équation avec √x
√x = 3a pour unique solutionx = 9.√x = −2n’a aucune solution, car une racine est positive.√x < 4sur[0 ; +∞[équivaut à0 ≤ x < 16, car la fonction est croissante.
Dérivée (première)
Pour x > 0, (√x)′ = 1 / (2√x). La fonction n’est pas dérivable en 0 : la tangente y est verticale. Voir les dérivées.
Où la rencontre-t-on ?
- En géométrie : le côté d’un carré d’aire A vaut √A ; la diagonale d’un carré de côté c vaut
c√2. - En physique : la période d’un pendule simple est proportionnelle à la racine carrée de sa longueur.
- En statistiques : l’écart-type est la racine carrée de la variance.
Erreurs fréquentes
- Calculer √ d’un négatif ou oublier l’ensemble de définition.
- Croire que √x < x toujours : c’est faux entre 0 et 1.
- Écrire √(a + b) = √a + √b.
- Donner deux solutions à √x = 3 : seul 9 convient ; c’est
x² = 9qui en a deux.
Exercice corrigé
- Calculer
√49,√0,01,√(3²)→ 7 ; 0,1 ; 3. - Ranger
√0,6,0,6,0,6²→0,36 < 0,6 < √0,6 ≈ 0,77. - Résoudre
√x = 1,5→ x = 2,25. - Résoudre
√x ≥ 3→ x ≥ 9, soit[9 ; +∞[. - Comparer
√50et7→7 = √49 < √50, donc √50 > 7.
Questions fréquentes
Quel est l’ensemble de définition de la fonction racine carrée ?
L’intervalle [0 ; +∞[ : la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres réels.
La fonction racine carrée est-elle croissante ?
Oui, strictement croissante sur [0 ; +∞[ : si a < b, alors √a < √b. Elle conserve donc l’ordre.
Pourquoi la fonction racine carrée n’est-elle pas dérivable en 0 ?
Parce que sa tangente en 0 est verticale : le taux d’accroissement √h / h = 1/√h tend vers l’infini quand h tend vers 0.
Quelle est la différence entre √x et x² ?
Ce sont des opérations réciproques sur les nombres positifs : √(x²) = x et (√x)² = x pour x ≥ 0. La première « ralentit » les grands nombres, la seconde les « accélère ».