Sciences · Mathématiques
L’hypothèse de Riemann
L’hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros « non triviaux » de la fonction zêta ont pour partie réelle 1/2. Formulée en 1859, non démontrée, elle contrôle la régularité de la répartition des nombres premiers.
Mis à jour le 4 min de lecture
L’hypothèse de Riemann est souvent présentée comme le plus important problème ouvert des mathématiques. Elle figure parmi les 23 problèmes posés par David Hilbert en 1900 et parmi les sept problèmes du millénaire du Clay Mathematics Institute (2000), dotés chacun d’un million de dollars. Son énoncé fait intervenir les nombres complexes, mais son enjeu est très concret : savoir avec quelle précision on peut prévoir la répartition des nombres premiers.
La fonction zêta
Pour un nombre s de partie réelle supérieure à 1, la fonction zêta est la somme d’une série infinie :
ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + 1/4ˢ + …
| Valeur | Résultat | Découverte |
|---|---|---|
ζ(1) | La série diverge (série harmonique) | Oresme, XIVe siècle |
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + … | π²/6 ≈ 1,645 | Euler, 1734-1735 (problème de Bâle) |
ζ(4) | π⁴/90 | Euler |
ζ(3) | ≈ 1,202 ; irrationnel (Apéry, 1979) | — |
Le lien avec les nombres premiers
Euler a découvert en 1737 que la fonction zêta s’écrit comme un produit portant sur tous les nombres premiers :
ζ(s) = 1/(1 − 2⁻ˢ) × 1/(1 − 3⁻ˢ) × 1/(1 − 5⁻ˢ) × …
Cette égalité traduit l’unicité de la décomposition en facteurs premiers. Elle fait de zêta une sorte de « code génétique » des nombres premiers.
Le prolongement de Riemann
En 1859, Bernhard Riemann publie un article de huit pages, Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée. Il prolonge zêta à tout le plan complexe (sauf s = 1) et montre que ses zéros — les valeurs de s pour lesquelles ζ(s) = 0 — déterminent la répartition des premiers.
- Les zéros triviaux sont les entiers pairs négatifs : −2, −4, −6…
- Les zéros non triviaux sont situés dans la bande verticale où la partie réelle est comprise entre 0 et 1. Riemann conjecture qu’ils sont tous sur la droite
Re(s) = 1/2. Le premier est environ1/2 + 14,1347 i.
Ce que l’hypothèse changerait
Le théorème des nombres premiers (démontré en 1896 par Hadamard et La Vallée Poussin) affirme que le nombre π(x) de premiers inférieurs à x est d’environ x / ln x (voir le logarithme). Une meilleure approximation est donnée par une intégrale notée Li(x).
| x | π(x) exact | x / ln x | Li(x) |
|---|---|---|---|
| 1 000 | 168 | ≈ 145 | ≈ 178 |
| 1 000 000 | 78 498 | ≈ 72 382 | ≈ 78 627 |
L’hypothèse de Riemann équivaut à dire que l’erreur |π(x) − Li(x)| reste de l’ordre de √x × ln x : les nombres premiers sont répartis aussi régulièrement que possible, sans grands écarts imprévisibles. Des centaines de théorèmes sont démontrés « sous l’hypothèse de Riemann » ; une preuve les validerait tous d’un coup.
Où en est-on ?
- Vérifications : plus de 10¹³ premiers zéros non triviaux ont été calculés, tous sur la droite critique.
- Résultats partiels : Hardy a démontré en 1914 qu’une infinité de zéros sont sur la droite critique ; on sait aujourd’hui qu’au moins 40 % d’entre eux y sont.
- Aucune preuve n’est acceptée à ce jour, malgré de nombreuses annonces non validées.
Des liens inattendus ont été observés avec la physique : l’espacement des zéros ressemble statistiquement à celui des niveaux d’énergie de certains systèmes quantiques (observation de Montgomery et Dyson, années 1970), sans qu’on sache l’exploiter pour une démonstration.
Erreurs fréquentes
- Croire que ζ(−1) = 1 + 2 + 3 + … = −1/12 au sens usuel : la série diverge ; −1/12 est la valeur du prolongement analytique, pas une somme ordinaire.
- Confondre zéros triviaux et non triviaux : l’hypothèse ne concerne que les seconds.
- Penser que des milliards de vérifications suffisent : en théorie des nombres, des conjectures vérifiées très loin se sont déjà révélées fausses.
Questions fréquentes
Peut-on expliquer l’hypothèse de Riemann simplement ?
Elle affirme que les nombres premiers, bien qu’irréguliers en apparence, sont répartis de manière aussi régulière que possible ; techniquement, que les zéros de la fonction zêta sont tous alignés sur une même droite.
Qui était Riemann ?
Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien allemand de Göttingen, auteur de travaux fondamentaux en analyse et en géométrie, utilisés plus tard par la relativité générale.
Que gagne celui qui la démontre ?
Le Clay Mathematics Institute offre un million de dollars pour une preuve publiée et validée par la communauté.
L’hypothèse de Riemann menace-t-elle la cryptographie ?
Pas directement. Une preuve renseignerait sur la répartition des premiers, mais ne donnerait pas en elle-même de méthode rapide pour factoriser de grands nombres.