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Les nombres premiers jumeaux
Deux nombres premiers sont jumeaux s’ils ne diffèrent que de 2, comme 3 et 5, 11 et 13 ou 41 et 43. On ignore encore s’il en existe une infinité : c’est la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Mis à jour le 4 min de lecture
Hormis 2 et 3, deux nombres premiers ne peuvent pas être consécutifs, puisque l’un des deux serait pair. L’écart minimal entre deux premiers impairs est donc 2. Les couples qui atteignent cet écart sont les premiers jumeaux. Ils deviennent de plus en plus rares, mais semblent ne jamais disparaître : prouver qu’il y en a toujours d’autres est l’un des grands défis de la théorie des nombres.
Les premiers couples
Jusqu’à 200, on trouve 15 couples :
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199).
On les repère facilement avec le crible d’Ératosthène.
| Jusqu’à | Nombre de couples jumeaux |
|---|---|
| 100 | 8 |
| 1 000 | 35 |
| 10 000 | 205 |
| 100 000 | 1 224 |
| 1 000 000 | 8 169 |
Propriétés
- 5 est le seul nombre premier qui appartient à deux couples : (3, 5) et (5, 7). En effet, parmi trois nombres impairs consécutifs n, n + 2, n + 4, l’un est toujours divisible par 3.
- Hormis (3, 5), tout couple est de la forme (6k − 1, 6k + 1) : le nombre situé entre les deux jumeaux est un multiple de 6. Exemples : 12 entre 11 et 13, 30 entre 29 et 31.
- Le produit p(p + 2) + 1 est un carré :
11 × 13 + 1 = 144 = 12², conséquence de l'identité remarquable(n − 1)(n + 1) = n² − 1.
La constante de Brun
En 1919, le mathématicien français Viggo Brun démontre que la somme des inverses des premiers jumeaux converge :
(1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + (1/11 + 1/13) + … ≈ 1,902
C’est la constante de Brun. Contraste frappant : la somme des inverses de tous les nombres premiers, elle, diverge (Euler). Ce résultat montre que les jumeaux sont « rares », mais ne permet pas de dire s’ils sont en nombre fini ou infini (voir les séries). En 1994, Thomas Nicely, en calculant cette constante, a découvert une erreur de division dans le processeur Pentium d’Intel.
Les percées depuis 2013
| Année | Résultat |
|---|---|
| 1849 | Alphonse de Polignac conjecture qu’il existe une infinité de couples de premiers consécutifs d’écart 2k, pour tout k |
| 1919 | Brun : la somme des inverses converge |
| 1966-1973 | Chen Jingrun : il existe une infinité de premiers p tels que p + 2 est premier ou produit de deux premiers |
| 2013 | Yitang Zhang : il existe une infinité de couples de premiers d’écart inférieur à 70 millions |
| 2013-2014 | James Maynard, Terence Tao et le projet collaboratif Polymath abaissent la borne à 246 |
Le résultat de Zhang, inconnu jusque-là, a été une surprise : c’est la première preuve qu’une infinité de couples de premiers restent à distance bornée. Maynard a reçu la médaille Fields en 2022, notamment pour ces travaux. Passer de 246 à 2 semble hors de portée des méthodes actuelles ; sous une conjecture plus forte (Elliott-Halberstam généralisée), la borne descend à 6.
Les records
Les plus grands couples connus ont des centaines de milliers de chiffres et sont de la forme k × 2ⁿ ± 1. Le record est régulièrement battu par des recherches informatiques distribuées.
Conjecture de Hardy et Littlewood
En 1923, Hardy et Littlewood proposent une estimation précise : le nombre de couples jumeaux inférieurs à x est d’environ 1,32 × x / (ln x)². Les comptages informatiques la confirment remarquablement bien, ce qui rend la conjecture des jumeaux très crédible — sans en constituer une preuve. Elle est de la même famille que la conjecture de Goldbach.
Erreurs fréquentes
- Compter (2, 3) : leur écart est 1, ce ne sont pas des jumeaux.
- Croire que 6k ± 1 est toujours premier : 25 = 6 × 4 + 1 ne l’est pas.
- Penser la conjecture démontrée depuis Zhang : on sait seulement qu’un écart d’au plus 246 se répète infiniment.
Questions fréquentes
Quels sont les premiers nombres premiers jumeaux ?
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73).
Y a-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux ?
On le pense, mais personne ne l’a démontré. On sait seulement qu’il existe une infinité de couples de premiers séparés d’au plus 246.
Existe-t-il des triplets de premiers jumeaux ?
Le seul triplet (p, p + 2, p + 4) entièrement premier est (3, 5, 7), car l’un des trois est toujours multiple de 3.
Que sont les nombres premiers cousins et sexy ?
Des couples de premiers d’écart 4 (cousins, comme 7 et 11) et 6 (« sexy », du latin sex, comme 5 et 11).