Le tableau de variations

Le tableau de variations est la synthèse de l’étude d’une fonction. D’un coup d’œil, il indique où elle monte, où elle descend, quelles valeurs maximales ou minimales elle atteint et comment elle se comporte aux bornes. Il sert à tracer la courbe, à dénombrer les solutions d’une équation et à résoudre des problèmes d’optimisation.

Le lien avec la dérivée

Sur un intervalle :

Si f′ s’annule en changeant de signe en a, f admet un extremum local en a : un maximum si f′ passe de + à −, un minimum si elle passe de − à +. Voir les dérivées.

La méthode pas à pas

1. Ensemble de définition de f.
2. Calculer f′(x).
3. Étudier le signe de f′(x) : factoriser, trouver les valeurs où f′ s’annule, faire un tableau de signes.
4. Dresser le tableau : ligne x, ligne signe de f′, ligne variations de f.
5. Calculer les valeurs de f aux points où f′ s’annule (extremums) et, si demandé, les limites aux bornes.

Exemple 1 : un polynôme du troisième degré

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 sur ℝ.

• f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x + 1)(x − 3).
• f′ s’annule en −1 et 3. C’est un trinôme de coefficient positif : positif à l’extérieur des racines, négatif entre (voir l'équation du second degré).
• f(−1) = −1 − 3 + 9 + 5 = 10 et f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22.
• Limites : −∞ en −∞, +∞ en +∞.

f admet un maximum local 10 en x = −1 et un minimum local −22 en x = 3. Ce ne sont pas des extremums globaux, puisque f prend toutes les valeurs réelles.

Exemple 2 : une fonction avec exponentielle

g(x) = (x − 1)eˣ sur ℝ.

• g′(x) = 1 × eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ (dérivée d’un produit).
• eˣ > 0, donc g′ a le signe de x : négatif avant 0, positif après.
• g(0) = −1.
• Limites : en −∞, x eˣ − eˣ tend vers 0 (croissances comparées) ; en +∞, +∞.

g admet un minimum global −1 en 0. Voir la fonction exponentielle.

Exploiter un tableau de variations

Nombre de solutions d’une équation

Avec l’exemple 1, combien de solutions a f(x) = 0 ? Sur ]−∞ ; −1], f croît de −∞ à 10 : elle passe une fois par 0. Sur [−1 ; 3], elle décroît de 10 à −22 : une fois. Sur 3 ; +∞[, elle croît de −22 à +∞ : une fois. Trois solutions, justifiées par le [théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement monotones.

Encadrer une fonction

Sur [−1 ; 3], le tableau montre que −22 ≤ f(x) ≤ 10.

Optimiser

Erreurs fréquentes

• Confondre signe de f et variations de f : c’est le signe de f′ qui donne les variations.
• Oublier les valeurs aux extrémités des flèches.
• Mettre une flèche sur une valeur interdite : on trace une double barre.
• Conclure à un extremum dès que f′(a) = 0 : pour x³, f′(0) = 0 mais la fonction croît partout (voir la fonction cube).
• Écrire que f est croissante sur ]−∞ ; −1] ∪ [3 ; +∞[ : on donne les intervalles séparément.

Questions fréquentes

Comment faire un tableau de variations ?

On calcule la dérivée, on étudie son signe, puis on traduit : + donne une flèche montante, − une flèche descendante. On complète avec les valeurs de f aux points de changement et aux bornes.

Peut-on faire un tableau de variations sans dérivée ?

Oui, pour les fonctions de référence (carré, inverse, affine) dont on connaît les variations, ou en comparant directement f(a) et f(b). La dérivée est la méthode générale.

Quelle différence entre maximum local et maximum global ?

Un maximum local est la plus grande valeur au voisinage d’un point ; un maximum global est la plus grande valeur sur tout l’intervalle étudié.

Comment lire le maximum d’une fonction dans un tableau de variations ?

On cherche la plus grande valeur écrite en haut d’une flèche, en la comparant aux limites ou aux valeurs aux bornes. Si une flèche monte vers +∞, la fonction n’a pas de maximum.