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La loi binomiale
La loi binomiale B(n ; p) donne la probabilité d’obtenir k succès en répétant n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues de probabilité de succès p. Son espérance vaut n × p.
Mis à jour le 4 min de lecture
Combien de fois obtiendra-t-on « pile » en 10 lancers ? Combien de pièces défectueuses dans un lot de 50 ? Combien de patients guéris sur 20 traités ? Toutes ces questions ont la même structure : une expérience simple, à deux issues, répétée plusieurs fois dans les mêmes conditions. La loi binomiale est l’outil qui y répond. C’est la loi discrète la plus utilisée au lycée et en statistique.
L’épreuve et le schéma de Bernoulli
Les deux conditions sont indispensables :
- mêmes conditions : p ne change pas d’une épreuve à l’autre ;
- indépendance : le résultat d’une épreuve n’influence pas les suivantes. Un tirage avec remise convient ; un tirage sans remise dans une petite urne ne convient pas (on utilise alors une autre loi, la loi hypergéométrique).
La formule
Pour k entier entre 0 et n :
P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
où C(n, k), aussi noté « k parmi n », est le coefficient binomial : le nombre de façons de placer les k succès parmi les n épreuves.
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Voir les combinaisons et arrangements et la factorielle. Les coefficients se lisent aussi dans le triangle de Pascal.
Pourquoi cette formule ?
Une suite précise de k succès et n − k échecs (par exemple SSE…) a pour probabilité p^k × (1 − p)^(n − k), par indépendance. Il y a C(n, k) suites différentes qui comportent exactement k succès, toutes de même probabilité. On additionne.
Espérance, variance et écart-type
| Grandeur | Formule | Sens |
|---|---|---|
| Espérance | E(X) = n × p | Nombre moyen de succès |
| Variance | V(X) = n × p × (1 − p) | Dispersion |
| Écart-type | σ(X) = √(n × p × (1 − p)) | Écart typique autour de la moyenne |
L’espérance est détaillée dans la fiche espérance mathématique.
La forme de la distribution
- Si
p = 0,5, la distribution est symétrique autour den/2. - Si p est petit, elle est concentrée près de 0 et étirée vers la droite ; si p est proche de 1, l’inverse.
- La valeur la plus probable (le mode) est proche de
n × p. - Quand n est grand, la distribution prend la forme d’une courbe en cloche : la loi binomiale est alors bien approchée par une loi normale de même moyenne et de même écart-type (théorème de Moivre-Laplace). Une règle pratique demande
n ≥ 30,np ≥ 5etn(1 − p) ≥ 5.
« Au moins », « au plus » : bien calculer
| Question | Calcul |
|---|---|
| Au moins un succès | 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)^n |
| Au plus k succès | P(X ≤ k) = P(X = 0) + … + P(X = k) |
| Au moins k succès | P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) |
Les calculatrices et tableurs possèdent des fonctions qui calculent directement P(X = k) et P(X ≤ k).
Questions fréquentes
Comment reconnaître une loi binomiale ?
Il faut une épreuve à deux issues (succès / échec), répétée n fois de façon identique et indépendante, et une variable qui compte le nombre de succès.
Quelle est l’espérance d’une loi binomiale ?
n × p. Sur 100 lancers d’un dé, le nombre moyen de 6 est 100 × 1/6 ≈ 16,7.
Un tirage sans remise suit-il une loi binomiale ?
Pas exactement, car la probabilité change après chaque tirage. Mais si la population est très grande par rapport au nombre de tirages (un sondage de 1 000 personnes dans un pays), l’approximation binomiale est excellente.
Que vaut C(n, k) ?
Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, sans tenir compte de l’ordre : n! / (k!(n − k)!). Par exemple, C(5, 2) = 10.