Sciences · Mathématiques
L’équation produit nul
Une équation produit nul s’écrit A × B = 0. Elle repose sur une propriété : un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul. On résout donc séparément A = 0 et B = 0.
Mis à jour le 3 min de lecture
L’équation produit nul est au programme de 3e et de seconde. C’est la méthode clé pour résoudre une équation du second degré (ou de degré plus élevé) sans formule : on factorise, puis on se ramène à des équations du premier degré. La fiche générale sur les équations présente les autres types.
Méthode pas à pas
- Mettre l’équation sous la forme
… = 0: tout passer du même côté. - Factoriser le membre non nul (facteur commun, identité remarquable).
- Écrire la propriété : « un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul ».
- Résoudre chaque équation du premier degré.
- Conclure par l’ensemble des solutions.
Exemple de base
Résoudre (2x − 6)(x + 5) = 0.
- Soit
2x − 6 = 0, doncx = 3; - soit
x + 5 = 0, doncx = −5.
Les solutions sont 3 et −5, qu’on note S = {−5 ; 3}. Vérification : avec x = 3, 0 × 8 = 0.
Quand il faut d’abord factoriser
| Équation | Factorisation | Solutions |
|---|---|---|
x² − 4x = 0 | x(x − 4) = 0 | 0 et 4 |
x² − 9 = 0 | (x − 3)(x + 3) = 0 | 3 et −3 |
x² + 6x + 9 = 0 | (x + 3)² = 0 | −3 (solution double) |
(x + 1)(2x − 3) − (x + 1)(x + 4) = 0 | (x + 1)(x − 7) = 0 | −1 et 7 |
4x² = 25 | (2x − 5)(2x + 5) = 0 | 2,5 et −2,5 |
Détail de la quatrième ligne : le facteur commun est (x + 1), et (2x − 3) − (x + 4) = x − 7. Voir développer et factoriser.
Pourquoi ne pas diviser par x
Dans x² = 5x, diviser par x donne x = 5 et fait perdre la solution x = 0. La bonne méthode : x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0, d’où x = 0 ou x = 5.
Le piège : le produit n’est pas égal à 0
La propriété ne marche que pour zéro. Si (x − 1)(x + 2) = 4, on ne peut pas écrire x − 1 = 4 ou x + 2 = 4. Il faut tout passer à gauche, développer, puis refactoriser :
x² + x − 2 − 4 = 0, soit x² + x − 6 = 0, soit (x + 3)(x − 2) = 0. Solutions : −3 et 2.
Lien avec le second degré
Toute équation du second degré qui se factorise se résout ainsi. Sinon, on utilise le discriminant (voir équation du second degré). La propriété sert aussi à étudier le signe d’un produit dans un tableau de signes.
Le quotient nul
A / B = 0 si et seulement si A = 0 et B ≠ 0. Exemple : (x − 2)/(x + 1) = 0 a pour solution x = 2 (et x = −1 est interdit).
Erreurs fréquentes
- Développer l’expression déjà factorisée : on perd l’avantage de la forme produit.
- Appliquer la propriété à un produit égal à un nombre non nul.
- Diviser par x et perdre la solution 0.
- Oublier une solution : un produit de deux facteurs du premier degré donne en général deux solutions.
- Erreur de signe :
x + 5 = 0donnex = −5, pas 5.
Exercice corrigé
(3x + 12)(5 − x) = 0→x = −4oux = 5. S = {−4 ; 5}.x² = 7x→x(x − 7) = 0→ S = {0 ; 7}.16x² − 1 = 0→(4x − 1)(4x + 1) = 0→ S = {−0,25 ; 0,25}.(x − 3)² − 4 = 0→(x − 3 − 2)(x − 3 + 2) = 0→(x − 5)(x − 1) = 0→ S = {1 ; 5}.x(x + 2)(2x − 1) = 0→ S = {−2 ; 0 ; 0,5}.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une équation produit nul ?
Une équation de la forme A × B = 0, où A et B sont des expressions. On la résout grâce à la propriété : un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Comment rédiger la résolution ?
« Un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Donc A = 0 ou B = 0. » Puis on résout chaque équation et on donne l’ensemble des solutions.
Peut-on avoir une seule solution ?
Oui, si les deux facteurs sont identiques, comme (x + 3)² = 0 : la solution −3 est dite double. Ou si un facteur ne s’annule jamais, comme (x² + 1)(x − 2) = 0, qui a pour seule solution 2.
Pourquoi cette propriété est-elle vraie ?
Si A n’est pas nul, on peut diviser par A : B = 0 / A = 0. Donc l’un des deux facteurs au moins est nul.