La boîte à moustaches

La boîte à moustaches, inventée par le statisticien américain John Tukey dans les années 1970, est au programme de seconde. Elle permet de visualiser en une ligne la position et la dispersion d’une série, et surtout de comparer plusieurs séries côte à côte. Les notions de médiane et de quartile sont présentées dans la fiche moyenne, médiane, écart-type.

Calculer les cinq valeurs : méthode

1. Ranger les N valeurs dans l’ordre croissant.
2. Minimum et maximum : première et dernière valeur.
3. Médiane : si N est impair, la valeur de rang (N + 1)/2 ; si N est pair, la moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2 + 1.
4. Q1 : calculer N/4 ; arrondir à l’entier supérieur ; Q1 est la valeur de ce rang.
5. Q3 : calculer 3N/4 ; arrondir à l’entier supérieur ; Q3 est la valeur de ce rang.

Cette définition des quartiles est celle des programmes français ; les logiciels et calculatrices utilisent parfois d’autres conventions, qui donnent des résultats légèrement différents.

Exemple chiffré

Notes de 12 élèves, rangées : 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 18.

Étendue : 18 − 3 = 15. Écart interquartile : 12 − 6 = 6.

Construire la boîte

1. Tracer un axe gradué (horizontal ou vertical) couvrant du minimum au maximum.
2. Dessiner un rectangle (la boîte) de Q1 à Q3.
3. Tracer un trait dans la boîte à la médiane.
4. Tracer les moustaches : des segments de Q1 au minimum et de Q3 au maximum.

La largeur de la boîte (perpendiculaire à l’axe) est sans importance.

Lire une boîte à moustaches

• Environ 25 % des valeurs sont dans chaque partie : moustache gauche, demi-boîte gauche, demi-boîte droite, moustache droite.
• 50 % des valeurs sont dans la boîte.
• Une boîte étroite signifie des valeurs centrales resserrées ; une moustache longue, des valeurs extrêmes éloignées.
• Une médiane décentrée dans la boîte indique une série dissymétrique.

Comparer deux séries

La classe A a une médiane plus haute, mais des résultats bien plus dispersés (écart interquartile 7 contre 2). La classe B est plus homogène. Deux moyennes égales peuvent ainsi cacher des répartitions très différentes.

Les valeurs aberrantes

Dans les usages professionnels, on limite souvent les moustaches à 1,5 × (Q3 − Q1) au-delà de la boîte et l’on représente par des points isolés les valeurs plus éloignées, considérées comme atypiques. Au lycée, les moustaches vont en général jusqu’au minimum et au maximum ; certaines variantes s’arrêtent au premier et au neuvième décile.

Erreurs fréquentes

• Oublier de ranger les valeurs avant de chercher les quartiles.
• Prendre la médiane de chaque moitié pour Q1 et Q3 : c’est une autre convention, non conforme à la définition française.
• Croire que la boîte contient 25 % des valeurs : elle en contient 50 %.
• Confondre écart interquartile et étendue.

Exercice corrigé

Temps (en minutes) de 9 coureurs : 42, 38, 51, 45, 40, 47, 39, 55, 44.

1. Rangés : 38, 39, 40, 42, 44, 45, 47, 51, 55.
2. Médiane : 5ᵉ valeur → 44.
3. Q1 : 9/4 = 2,25 → 3ᵉ valeur → 40.
4. Q3 : 27/4 = 6,75 → 7ᵉ valeur → 47.
5. Écart interquartile : 7 min ; étendue : 17 min.

Questions fréquentes

Comment calculer les quartiles ?

On range les valeurs, on calcule N/4 et 3N/4, on arrondit chacun à l’entier supérieur : Q1 et Q3 sont les valeurs de ces rangs.

Que représente la boîte d’une boîte à moustaches ?

L’intervalle de Q1 à Q3, qui contient environ la moitié centrale des valeurs.

Quelle est la différence entre médiane et moyenne ?

La médiane partage la série en deux moitiés ; la moyenne est la somme divisée par l’effectif. La médiane est moins sensible aux valeurs extrêmes.

Pourquoi ma calculatrice ne donne-t-elle pas les mêmes quartiles ?

Parce qu’il existe plusieurs définitions des quartiles. Les écarts sont faibles sur de grandes séries ; au lycée, on applique la définition du programme.