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Image et antécédent
L’image d’un nombre a par une fonction f est f(a) ; un antécédent de b est un nombre x tel que f(x) = b. Un nombre a une seule image mais peut avoir plusieurs antécédents.
Mis à jour le 3 min de lecture
Image et antécédent sont les deux mots de base du vocabulaire des fonctions, introduits en 3e et repris en seconde. Les confondre est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre. Les trouver se fait de trois façons : par le calcul, avec un tableau de valeurs ou sur un graphique.
La différence en un tableau
| Image | Antécédent | |
|---|---|---|
| On connaît | x | f(x) |
| On cherche | f(x) | x |
| Méthode de calcul | remplacer x et calculer | résoudre l’équation f(x) = b |
| Nombre de réponses | toujours une seule | zéro, une ou plusieurs |
| Sur le graphique | lire en ordonnée | lire en abscisse |
Calculer une image
On remplace x par la valeur donnée, avec des parenthèses, puis on calcule en respectant les priorités.
Pour f(x) = x² − 3x + 1 :
f(2) = 2² − 3 × 2 + 1 = 4 − 6 + 1 = −1;f(−1) = (−1)² − 3 × (−1) + 1 = 1 + 3 + 1 = 5.
Donc l’image de 2 est −1 et l’image de −1 est 5.
Calculer un antécédent
On résout l’équation f(x) = b.
Pour g(x) = 4x − 7, antécédent de 9 : 4x − 7 = 9, 4x = 16, x = 4. Pour une fonction affine non constante, chaque nombre a exactement un antécédent (voir fonction affine).
Pour h(x) = x², antécédents de 25 : x² = 25, donc x = 5 ou x = −5. Antécédents de −4 : aucun, car un carré n’est jamais négatif (voir fonction carré).
Avec un tableau de valeurs
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 7 | 2 | −1 | −2 | −1 | 2 |
- L’image de 1 est −2 : on lit dans la ligne du bas.
- Les antécédents de −1 lisibles sont 0 et 2 : on cherche −1 en bas et on lit au-dessus.
- Le tableau ne montre que certaines valeurs : il peut exister d’autres antécédents non affichés.
Sur un graphique
La courbe de f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).
- Image de a : partir de a sur l’axe des abscisses, monter (ou descendre) verticalement jusqu’à la courbe, puis lire l'ordonnée.
- Antécédents de b : partir de b sur l’axe des ordonnées, tracer la droite horizontale
y = b, repérer tous ses points d’intersection avec la courbe et lire leurs abscisses.
La fiche résolution graphique généralise cette lecture aux équations et inéquations.
Les notations à connaître
f(3) = 7se lit « f de 3 égale 7 » : l’image de 3 est 7.- « Le point A(3 ; 7) appartient à la courbe de f » signifie exactement
f(3) = 7. f : x ↦ 2x + 1se lit « f est la fonction qui à x associe 2x + 1 ».
Erreurs fréquentes
- Inverser image et antécédent : « l’image de 4 » demande f(4), pas la solution de f(x) = 4.
- Écrire « l’antécédent » au lieu de « un antécédent » : il peut y en avoir plusieurs.
- Oublier les parenthèses : pour x = −3,
x²donne(−3)² = 9, pas −9. - Ne donner qu’un antécédent alors que la courbe coupe plusieurs fois la droite horizontale.
- Confondre les axes lors de la lecture graphique.
Exercice corrigé
Soit f(x) = 2x² − 8.
- Image de 3 :
2 × 9 − 8 =10. - Image de 0 : −8.
- Antécédents de 0 :
2x² − 8 = 0,x² = 4, donc x = 2 ou x = −2. - Antécédents de −10 :
2x² = −2,x² = −1: aucun. - Le point B(−1 ; −6) est-il sur la courbe ?
f(−1) = 2 − 8 = −6: oui.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une image et un antécédent ?
L’image est le résultat f(x) obtenu à partir de x ; un antécédent est un nombre de départ x qui donne un résultat donné. On calcule une image, on résout une équation pour trouver un antécédent.
Un nombre peut-il avoir plusieurs images ?
Non : par définition, une fonction associe une seule image à chaque nombre. Une courbe qui coupe deux fois une même droite verticale ne représente donc pas une fonction.
Un nombre peut-il ne pas avoir d’antécédent ?
Oui : par la fonction carré, aucun nombre négatif n’a d’antécédent, car un carré est toujours positif ou nul.
Comment lire une image sur un graphique ?
On part de la valeur sur l’axe horizontal, on rejoint la courbe verticalement et on lit l’ordonnée du point obtenu.