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La division par zéro
Diviser par zéro est impossible car diviser a par b, c’est chercher le nombre qui multiplié par b donne a. Or tout nombre multiplié par 0 donne 0 : 5 ÷ 0 n’a aucune réponse, et 0 ÷ 0 en aurait une infinité.
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« On ne divise pas par zéro » est une règle que tout élève entend, mais rarement justifiée. Ce n’est pas une interdiction arbitraire : c’est la conséquence directe de la définition de la division. Comprendre pourquoi permet aussi de saisir ce que signifient les expressions « tend vers l’infini » ou « forme indéterminée » en analyse.
Le raisonnement en deux cas
Cas 1 : un nombre non nul divisé par 0
Que vaudrait 5 ÷ 0 ? Il faudrait un nombre q tel que 0 × q = 5. Or 0 × q = 0 pour tout q. Aucun nombre ne convient : la division est impossible.
Cas 2 : 0 divisé par 0
Que vaudrait 0 ÷ 0 ? Il faudrait q tel que 0 × q = 0. Cette fois, tous les nombres conviennent : 1, 7, −3,5… Un quotient doit être unique, donc 0 ÷ 0 n’a pas non plus de valeur. On dit qu’il est indéterminé.
Ce qui est permis
Zéro peut être divisé : 0 ÷ 5 = 0, car 5 × 0 = 0. C’est le diviseur qui ne peut pas être nul. Dans une fraction a/b, on impose donc toujours b ≠ 0 (voir les fractions).
Pourquoi on ne peut pas poser 1 ÷ 0 = ∞
On pourrait être tenté de dire que 1 ÷ 0 vaut l’infini. Mais l’infini n’est pas un nombre réel et ne respecte pas les règles de calcul : si 1/0 = ∞ et 2/0 = ∞, alors en multipliant par 0 on obtiendrait 1 = 2. Accepter la division par zéro rend l’arithmétique contradictoire.
Ce que dit l’analyse : s’approcher de zéro
On ne peut pas diviser par 0, mais on peut diviser par des nombres de plus en plus proches de 0 et observer le résultat (voir les limites de fonctions).
| x | 1/x |
|---|---|
| 0,1 | 10 |
| 0,01 | 100 |
| 0,001 | 1 000 |
| −0,001 | −1 000 |
Quand x s’approche de 0 par valeurs positives, 1/x devient aussi grand qu’on veut : on écrit lim 1/x = +∞ quand x → 0⁺. Par valeurs négatives, la limite est −∞. La courbe de la fonction inverse a une asymptote verticale en x = 0. Ces deux comportements opposés montrent encore qu’aucune valeur unique ne peut être attribuée à 1/0.
Les formes indéterminées
En analyse, 0/0 apparaît comme une forme indéterminée : selon les fonctions, le quotient peut tendre vers n’importe quelle valeur.
x / xtend vers 1 quand x → 0.x² / xtend vers 0.sin(x) / xtend vers 1.
Pour lever l’indétermination, on factorise, on simplifie ou on utilise les dérivées. Le nombre dérivé lui-même est la limite d’un quotient de la forme 0/0.
Et en informatique ?
- Avec des entiers, la division par zéro provoque en général une erreur d’exécution (exception, plantage du programme).
- Avec des nombres à virgule flottante (norme IEEE 754),
1.0 / 0.0renvoieInfinityet0.0 / 0.0renvoieNaN(Not a Number). Ce sont des valeurs spéciales de signalement, pas des résultats mathématiques. - Dans un tableur, la division par une cellule vide ou nulle affiche
#DIV/0!.
Un peu d’histoire
Le mathématicien indien Brahmagupta (VIIe siècle), l’un des premiers à traiter zéro comme un nombre, propose des règles de calcul avec zéro mais pose 0 ÷ 0 = 0, ce qui est aujourd’hui considéré comme incorrect. Bhaskara II (XIIe siècle) assimile a ÷ 0 à une quantité infinie. La position moderne — la division par zéro n’est pas définie — s’impose avec la rigueur de l’analyse au XIXe siècle (voir l'histoire du zéro et l'infini en mathématiques).
Erreurs fréquentes
- Simplifier une équation par x : dans
x² = 3x, diviser par x fait perdre la solution x = 0. On factorise :x(x − 3) = 0. - Oublier la valeur interdite d’une fraction rationnelle comme
1/(x − 2): x ≠ 2. - Croire que 0/0 = 1 ou
0/0 = 0.
Questions fréquentes
Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?
Parce qu’aucun nombre multiplié par 0 ne redonne un nombre non nul, et que pour 0 ÷ 0, tous les nombres conviendraient. La division n’aurait pas de résultat unique.
Combien font 0 divisé par un nombre ?
0, quel que soit le nombre non nul : 0 ÷ 7 = 0 car 7 × 0 = 0.
La division par zéro donne-t-elle l’infini ?
Non. 1/x tend vers l’infini quand x s’approche de 0, mais la division elle-même n’est pas définie. L’infini n’est pas un nombre réel.
Existe-t-il des systèmes où l’on peut diviser par zéro ?
Certaines constructions mathématiques ajoutent un point à l’infini (la sphère de Riemann) où l’on pose 1/0 = ∞, mais au prix de règles de calcul modifiées : par exemple 0 × ∞ et ∞ − ∞ n’y sont pas définis.