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Le paradoxe des anniversaires
Dès 23 personnes réunies, la probabilité que deux d’entre elles aient le même jour d’anniversaire dépasse 50 %. Avec 57 personnes, elle dépasse 99 %.
Mis à jour le 3 min de lecture
Dans une classe de 30 élèves, y a-t-il deux élèves nés le même jour de l’année ? La plupart des gens estiment la chance faible, puisqu’il y a 365 jours possibles. En réalité, elle est d’environ 70 %. Ce résultat n’est pas un vrai paradoxe logique, mais un résultat de probabilités qui heurte l’intuition, et il a des conséquences très concrètes en informatique et en cryptographie.
Le calcul
Il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement contraire : « toutes les personnes ont des anniversaires différents ».
- La première personne a un anniversaire quelconque : probabilité 365/365.
- La deuxième doit avoir un autre jour : 364/365.
- La troisième, un jour différent des deux premiers : 363/365.
- … et ainsi de suite jusqu’à la n-ième :
(365 − n + 1) / 365.
P(tous différents) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × (365 − n + 1)/365
P(au moins une coïncidence) = 1 − P(tous différents)
Tableau des probabilités
| Nombre de personnes | Probabilité d’au moins un anniversaire commun |
|---|---|
| 5 | 2,7 % |
| 10 | 11,7 % |
| 15 | 25,3 % |
| 20 | 41,1 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 40 | 89,1 % |
| 50 | 97,0 % |
| 57 | 99,0 % |
| 70 | 99,9 % |
| 366 | 100 % (principe des tiroirs) |
Avec 366 personnes, la coïncidence est certaine : il y a plus de personnes que de jours possibles. C’est le principe des tiroirs : si l’on range n + 1 objets dans n tiroirs, un tiroir en contient au moins deux.
Pourquoi l’intuition se trompe
L’erreur vient de ce que l’on pense à soi-même : « quelle est la chance que quelqu’un soit né le même jour que moi ? ». Cette probabilité-là est faible : avec 22 autres personnes, elle vaut 1 − (364/365)²² ≈ 5,9 %. Il faudrait 253 personnes pour qu’elle dépasse 50 %.
Mais la question porte sur n’importe quelle paire de personnes. Or le nombre de paires croît très vite : avec 23 personnes, il y a 23 × 22 / 2 = 253 paires possibles, chacune ayant une petite chance (1/365) de coïncider. Le nombre de paires est donné par les combinaisons de 2 parmi n.
Le cas réel
Les naissances ne sont pas réparties uniformément sur l’année : certaines périodes de l’année comptent plus de naissances que d’autres, et les accouchements programmés en réduisent le nombre les week-ends et jours fériés. Or toute inégalité de répartition augmente la probabilité de coïncidence. Le calcul uniforme est donc une borne inférieure : dans la réalité, 23 personnes suffisent largement.
Les applications
- Cryptographie : l'« attaque des anniversaires » exploite ce phénomène pour trouver deux messages ayant la même empreinte (fonction de hachage). Pour une empreinte de 64 bits, il suffit d’environ 2³² essais, et non 2⁶⁴, pour avoir de bonnes chances de collision. C’est pourquoi les empreintes de sécurité actuelles comptent au moins 256 bits (voir le chiffrement HTTPS).
- Informatique : estimation des risques de collision dans les tables de hachage et les identifiants aléatoires.
- Biologie et criminalistique : évaluation des coïncidences fortuites entre profils génétiques dans de grandes bases de données.
- Coïncidences : de nombreux « hasards incroyables » de la vie courante deviennent probables quand on considère le grand nombre de coïncidences qui auraient pu se produire.
Questions fréquentes
Combien faut-il de personnes pour avoir 50 % de chances d’un anniversaire commun ?
23 personnes. La probabilité est alors d’environ 50,7 %.
Pourquoi est-ce appelé un paradoxe ?
Parce que le résultat contredit l’intuition, et non parce qu’il contient une contradiction logique. On parle de paradoxe « véridique ».
Quelle est la probabilité dans une classe de 30 élèves ?
Environ 70,6 %. Il est donc plus probable qu’improbable que deux élèves soient nés le même jour.
Combien faut-il de personnes pour qu’un anniversaire tombe le même jour que le mien ?
Environ 253 personnes pour atteindre 50 % de chances, car on ne s’intéresse alors qu’aux paires qui vous incluent.