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Le problème de Monty Hall
Dans le problème de Monty Hall, changer de porte après l’ouverture d’une porte perdante fait gagner avec une probabilité de 2/3, contre 1/3 si l’on garde son premier choix.
Mis à jour le 4 min de lecture
C’est sans doute le casse-tête de probabilités qui a suscité le plus de disputes. Sa réponse est si contraire à l’intuition que des milliers de lecteurs, parmi lesquels des mathématiciens, ont contesté la solution quand elle a été publiée dans un magazine américain en 1990. Pourtant, elle se vérifie par le calcul, par la simulation et même avec trois gobelets sur une table.
La réponse : oui, il faut changer
| Stratégie | Probabilité de gagner la voiture |
|---|---|
| Garder la porte choisie | 1/3 |
| Changer de porte | 2/3 |
Changer de porte double les chances de gagner.
L’explication la plus simple
Au départ, le candidat a 1 chance sur 3 de désigner la voiture, et 2 chances sur 3 de désigner une chèvre.
- S’il a d’abord choisi la voiture (probabilité 1/3), changer le fait perdre.
- S’il a d’abord choisi une chèvre (probabilité 2/3), le présentateur est obligé d’ouvrir la porte de l’autre chèvre ; la porte restante cache donc forcément la voiture, et changer le fait gagner.
Changer gagne donc exactement quand le premier choix était mauvais, c’est-à-dire 2 fois sur 3.
Tous les cas possibles
Supposons que le candidat choisisse la porte 1.
| Voiture derrière | Le présentateur ouvre | Résultat en gardant | Résultat en changeant |
|---|---|---|---|
| Porte 1 | Porte 2 ou 3 | Gagne | Perd |
| Porte 2 | Porte 3 (obligatoirement) | Perd | Gagne |
| Porte 3 | Porte 2 (obligatoirement) | Perd | Gagne |
Les trois lignes sont équiprobables (1/3 chacune) : garder gagne dans 1 cas sur 3, changer dans 2 cas sur 3.
Pourquoi l’intuition dit « 50/50 »
Après l’ouverture, il reste deux portes fermées, et l’on a l’impression qu’elles sont équivalentes. Mais elles ne le sont pas : le geste du présentateur n’est pas aléatoire. Il sait où est la voiture et ne l’ouvre jamais. Sa porte apporte donc une information sur la porte restante, mais aucune sur celle du candidat, qu’il n’a pas le droit d’ouvrir. La probabilité de 2/3 qui portait sur « les deux autres portes » se concentre sur la seule porte restée fermée.
Le calcul avec les probabilités conditionnelles
Le candidat choisit la porte 1 ; le présentateur ouvre la porte 3. Notons V_i « la voiture est derrière la porte i » et O_3 « le présentateur ouvre la porte 3 ».
- Si V_1 : le présentateur choisit au hasard entre 2 et 3, donc
P(O_3 | V_1) = 1/2. - Si V_2 : il doit ouvrir la 3, donc
P(O_3 | V_2) = 1. - Si V_3 : il ne peut pas ouvrir la 3, donc
P(O_3 | V_3) = 0.
P(O_3) = 1/3 × 1/2 + 1/3 × 1 + 1/3 × 0 = 1/2.
Par le théorème de Bayes : P(V_2 | O_3) = (1 × 1/3) / (1/2) = 2/3 et P(V_1 | O_3) = (1/2 × 1/3) / (1/2) = 1/3. Voir les probabilités conditionnelles.
Les hypothèses comptent
Le résultat dépend des règles du jeu :
| Comportement du présentateur | Intérêt de changer |
|---|---|
| Sait où est la voiture et ouvre toujours une porte perdante | Changer : 2/3 |
| Ouvre une porte au hasard, qui se révèle par chance perdante | Indifférent : 1/2 |
| N’ouvre une porte que si le candidat a choisi la voiture (pour le piéger) | Ne jamais changer |
C’est cette dépendance aux règles, souvent mal énoncées, qui explique une partie des controverses.
Histoire
Le nom vient de Monty Hall, présentateur du jeu télévisé américain Let’s Make a Deal, à partir des années 1960, même si le jeu ne suivait pas exactement ces règles. Le statisticien Steve Selvin formule le problème en 1975. En 1990, la chroniqueuse Marilyn vos Savant publie la bonne réponse dans le magazine Parade ; elle reçoit des milliers de lettres de protestation, dont un grand nombre signées par des titulaires de doctorat. Le mathématicien Paul Erdős lui-même n’aurait été convaincu qu’en voyant une simulation par ordinateur. Un problème équivalent, celui des trois prisonniers, avait été publié par Martin Gardner en 1959.
Le vérifier soi-même
Prenez trois gobelets et une pièce. Un ami cache la pièce, vous choisissez un gobelet, il soulève un gobelet vide parmi les deux autres. Jouez 30 parties en changeant toujours, puis 30 en gardant toujours : la différence apparaît vite, conformément à la loi des grands nombres.
Questions fréquentes
Pourquoi faut-il changer de porte au jeu de Monty Hall ?
Parce que votre premier choix n’a qu’1 chance sur 3 d’être bon. Dans les 2 cas sur 3 où il est mauvais, le présentateur vous désigne indirectement la bonne porte en ouvrant l’autre porte perdante.
Pourquoi n’est-ce pas une chance sur deux ?
Parce que le présentateur ne choisit pas au hasard : il connaît l’emplacement de la voiture et évite toujours de l’ouvrir. Son choix transmet une information.
Que se passe-t-il si le présentateur ouvre une porte au hasard ?
Si la porte ouverte se révèle perdante par chance, les deux portes restantes sont alors équiprobables : changer ou garder donne 1 chance sur 2.
Ce problème a-t-il des applications ?
Il illustre la façon dont une information non aléatoire modifie des probabilités. Il sert d’exemple classique pour enseigner le conditionnement, le théorème de Bayes et les biais d’intuition.