Le nombre dérivé

Le nombre dérivé est la première notion du chapitre de dérivation en première (spécialité). Il mesure la vitesse de variation instantanée d’une fonction en un point. La fiche dérivées présente ensuite la fonction dérivée et les formules ; celle-ci explique la définition et le calcul à partir du taux d’accroissement.

L’idée : de la sécante à la tangente

Le taux d’accroissement est le coefficient directeur de la sécante passant par A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)), comme pour une fonction affine : variation des ordonnées divisée par variation des abscisses. Quand h se rapproche de 0, M glisse vers A sur la courbe et la sécante tend vers une position limite : la tangente en A. Son coefficient directeur est f′(a).

Méthode de calcul pas à pas

1. Calculer f(a + h) en développant.
2. Calculer f(a + h) − f(a).
3. Diviser par h et simplifier (le h du dénominateur doit disparaître).
4. Faire tendre h vers 0.

Exemple : f(x) = x² en a = 3

1. f(3 + h) = (3 + h)² = 9 + 6h + h².
2. f(3 + h) − f(3) = 6h + h².
3. τ(h) = (6h + h²) / h = 6 + h.
4. Quand h tend vers 0, 6 + h tend vers 6. Donc f′(3) = 6.

Plus généralement, pour la fonction carré, f′(a) = 2a : on retrouve la formule (x²)′ = 2x.

Une approche numérique

Le taux se rapproche de 6 : c’est l’intuition, la limite en donne la preuve.

Deuxième exemple : f(x) = 1/x en a = 2

f(2 + h) − f(2) = 1/(2 + h) − 1/2 = (2 − (2 + h)) / (2(2 + h)) = −h / (2(2 + h)).

τ(h) = −1 / (2(2 + h)), qui tend vers −1/4. Donc f′(2) = −0,25 : la fonction inverse décroît en 2.

Lire un nombre dérivé sur un graphique

f′(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.

1. Repérer la tangente tracée au point A.
2. Choisir deux points de la tangente faciles à lire.
3. Calculer (différence des y) / (différence des x).

Une tangente horizontale signifie f′(a) = 0 ; une tangente qui monte, f′(a) > 0 ; qui descend, f′(a) < 0.

L’équation de la tangente

La tangente en a a pour équation y = f′(a)(x − a) + f(a). Pour x² en 3 : y = 6(x − 3) + 9 = 6x − 9. Voir l'équation de la tangente.

Interprétation physique

Si d(t) est la distance parcourue au temps t, le taux d’accroissement est une vitesse moyenne entre t et t + h, et d′(t) est la vitesse instantanée. C’est ce que lit le compteur d’une voiture. Voir vitesse et accélération.

Fonctions non dérivables en un point

• |x| en 0 : le taux vaut 1 à droite et −1 à gauche, il n’a pas de limite unique (la courbe forme un « coin »).
• √x en 0 : le taux 1/√h tend vers l’infini (tangente verticale).

Erreurs fréquentes

• Faire tendre h vers 0 avant de simplifier : on obtient la forme indéterminée 0/0.
• Oublier de développer (a + h)² : ce n’est pas a² + h².
• Confondre f(a) et f′(a) : l’ordonnée du point et la pente de la tangente.
• Lire la pente avec les mauvaises unités de graduation sur le graphique.

Exercice corrigé

Soit f(x) = x² − 4x + 1.

1. f(1 + h) = (1 + h)² − 4(1 + h) + 1 = h² − 2h − 2.
2. f(1) = −2, donc f(1 + h) − f(1) = h² − 2h.
3. τ(h) = h − 2, qui tend vers −2 : f′(1) = −2.
4. Tangente en 1 : y = −2(x − 1) − 2 = −2x.
5. En a = 2 : f′(2) = 2 × 2 − 4 = 0, la tangente est horizontale (minimum de la parabole).

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre nombre dérivé et fonction dérivée ?

Le nombre dérivé f′(a) est un nombre, calculé en un point a. La fonction dérivée f′ associe à chaque x le nombre dérivé f′(x).

Que représente graphiquement le nombre dérivé ?

Le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d’abscisse a.

Comment calculer un nombre dérivé avec la définition ?

On calcule le taux d’accroissement (f(a + h) − f(a)) / h, on le simplifie par h, puis on cherche sa limite quand h tend vers 0.

Que signifie f′(a) = 0 ?

La tangente est horizontale en a. C’est souvent le signe d’un maximum ou d’un minimum local, mais pas toujours : pour x³ en 0, la courbe continue de monter.