Sciences · Mathématiques
Les suites arithmétiques
Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison : uₙ₊₁ = uₙ + r. Son terme général est uₙ = u₀ + n × r ; elle modélise les croissances linéaires.
Mis à jour le 3 min de lecture
Les suites arithmétiques sont au programme de première (spécialité et tronc commun technologique). Elles décrivent toute situation où une quantité augmente ou diminue d’une valeur fixe à chaque étape : une épargne de 50 € par mois, un loyer augmentant de 20 € par an, des places de théâtre ajoutées à chaque rang. La fiche suites numériques présente le cadre général.
Reconnaître une suite arithmétique
Méthode : calculer uₙ₊₁ − uₙ. Si cette différence est une constante (indépendante de n), la suite est arithmétique de raison cette constante.
uₙ = 5n − 2:uₙ₊₁ − uₙ = 5(n + 1) − 2 − (5n − 2) = 5. Arithmétique de raison 5.vₙ = n²:vₙ₊₁ − vₙ = 2n + 1, qui dépend de n. Pas arithmétique.
Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique, un contre-exemple suffit : v₁ − v₀ = 1 et v₂ − v₁ = 3.
Calculer un terme
Exemple : u₀ = 7 et r = 3. Alors u₁₀ = 7 + 10 × 3 = 37 et u₁₀₀ = 307.
Entre deux termes quelconques : uₙ = uₚ + (n − p) × r. Si u₄ = 20 et u₉ = 45, alors 5r = 25, donc r = 5 et u₀ = 20 − 4 × 5 = 0.
Sens de variation
| Raison | Suite |
|---|---|
| r > 0 | strictement croissante |
| r = 0 | constante |
| r < 0 | strictement décroissante |
Si r > 0, la suite tend vers +∞ ; si r < 0, vers −∞.
Représentation graphique
Les points (n ; uₙ) sont alignés sur une droite de coefficient directeur r : une suite arithmétique est la version « discrète » d’une fonction affine x ↦ rx + u₀. On parle de croissance linéaire.
La somme des termes
Somme des entiers de 1 à n : 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Exemple : 1 + 2 + … + 100 = 5 050, résultat que l’on attribue, selon une anecdote célèbre, au jeune Gauss. Ces sommes sont les nombres triangulaires.
Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique :
S = nombre de termes × (premier terme + dernier terme) / 2
Idée : on écrit la somme à l’endroit et à l’envers, chaque paire de termes donne la même somme.
Exemple : u₀ = 7, r = 3. Somme de u₀ à u₁₀ : 11 termes, dernier terme 37. S = 11 × (7 + 37)/2 = 11 × 22 = 242.
Exemple concret
Léa économise 20 € le premier mois, puis 5 € de plus chaque mois suivant. Le n-ième mois (n ≥ 1), elle épargne uₙ = 20 + (n − 1) × 5. Le 12ᵉ mois : u₁₂ = 75 €. Sur un an : S = 12 × (20 + 75)/2 = 570 €.
Erreurs fréquentes
- Se tromper d’indice de départ : avec u₁, la formule est
u₁ + (n − 1)r. - Mal compter les termes : de u₀ à u₁₀, il y a 11 termes ; de u₅ à u₂₀, il y en a 16.
- Confondre avec une suite géométrique, où l’on multiplie (voir suite géométrique).
- Prouver avec deux exemples qu’une suite est arithmétique : il faut un calcul général.
Exercice corrigé
Soit (uₙ) arithmétique avec u₀ = −4 et r = 2,5.
u₈ = −4 + 8 × 2,5 =16.- La suite est croissante (r > 0).
- Pour quel n a-t-on
uₙ = 46?−4 + 2,5n = 46,n =20. - Somme
u₀ + … + u₂₀: 21 termes,S = 21 × (−4 + 46)/2 =441. - Un amphithéâtre a 18 places au 1er rang et 2 de plus à chaque rang. Le 15ᵉ rang compte
18 + 14 × 2 =46 places ; les 15 rangs :15 × (18 + 46)/2 =480 places.
Questions fréquentes
Comment savoir si une suite est arithmétique ?
On calcule uₙ₊₁ − uₙ. Si le résultat est un nombre constant, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison.
Quelle est la formule d’une suite arithmétique ?
uₙ = u₀ + n × r, ou uₙ = u₁ + (n − 1) × r si le premier terme est u₁.
Comment calculer la somme des termes ?
Nombre de termes × (premier + dernier) ÷ 2. Pour 3 + 7 + 11 + … + 43 (11 termes), on obtient 11 × 46 ÷ 2 = 253.
Quelle différence avec une suite géométrique ?
Une suite arithmétique ajoute une constante (croissance linéaire) ; une suite géométrique multiplie par une constante (croissance exponentielle).