Sciences · Mathématiques
La composition de fonctions
Composer deux fonctions, c’est les appliquer l’une après l’autre. La composée g ∘ f (« g rond f ») est la fonction qui à x associe g(f(x)) : on calcule d’abord f(x), puis on applique g au résultat.
Mis à jour le 3 min de lecture
La composition de fonctions est au programme de terminale (spécialité mathématiques), où elle sert surtout à dériver des fonctions comme e^(3x+1) ou √(x² + 1) et à calculer des limites. L’idée est pourtant simple et ressemble à un programme de calcul en deux étapes.
L’ordre compte
On applique d’abord la fonction de droite (f), puis celle de gauche (g). En général, g ∘ f ≠ f ∘ g.
Avec f(x) = x + 3 et g(x) = x² :
(g ∘ f)(x) = g(x + 3) = (x + 3)²;(f ∘ g)(x) = f(x²) = x² + 3.
Pour x = 1 : (g ∘ f)(1) = 16, mais (f ∘ g)(1) = 4.
Calculer une composée : méthode pas à pas
- Écrire
g(f(x)). - Remplacer, dans l’expression de g, chaque x par l’expression entière de
f(x), entre parenthèses. - Simplifier si besoin.
Exemple : f(x) = 2x − 1, g(x) = 1/x. (g ∘ f)(x) = 1/(2x − 1), définie pour x ≠ 1/2.
L’ensemble de définition
x doit être dans l’ensemble de définition de f, et f(x) dans celui de g.
Exemple : h(x) = √(4 − x), avec f(x) = 4 − x et g(x) = √x. Il faut 4 − x ≥ 0, soit x ≤ 4. h est définie sur ]−∞ ; 4].
Décomposer une fonction
Le plus souvent, on fait l’inverse : on reconnaît une fonction comme composée de fonctions simples.
| Fonction | Fonction intérieure u | Fonction extérieure |
|---|---|---|
(3x + 5)⁴ | u(x) = 3x + 5 | X ↦ X⁴ |
√(x² + 1) | u(x) = x² + 1 | X ↦ √X |
e^(−2x) | u(x) = −2x | X ↦ eˣ |
ln(x² + 3) | u(x) = x² + 3 | X ↦ ln X |
cos(5x) | u(x) = 5x | X ↦ cos X |
La dérivée d’une composée
Règle générale : (g ∘ u)′(x) = u′(x) × g′(u(x)). On dérive la fonction extérieure en gardant l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur. Les cas usuels :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
uⁿ | n × u′ × uⁿ⁻¹ |
√u (u > 0) | u′ / (2√u) |
eᵘ | u′ × eᵘ |
ln u (u > 0) | u′ / u |
f(ax + b) | a × f′(ax + b) |
Exemples :
((3x + 5)⁴)′ = 4 × 3 × (3x + 5)³ = 12(3x + 5)³;(e^(−2x))′ = −2e^(−2x)(voir fonction exponentielle) ;(√(x² + 1))′ = 2x / (2√(x² + 1)) = x / √(x² + 1).
Voir aussi les dérivées.
Limite d’une composée
Si u(x) tend vers b quand x tend vers a, et si g(X) tend vers c quand X tend vers b, alors g(u(x)) tend vers c. Exemple : quand x tend vers +∞, −x² tend vers −∞ et e^X tend vers 0, donc e^(−x²) tend vers 0. Voir les limites de fonctions.
Sens de variation
La composée de deux fonctions de même sens de variation est croissante ; de sens contraires, décroissante. e^(−x) est décroissante : on compose x ↦ −x (décroissante) et l’exponentielle (croissante).
Erreurs fréquentes
- Inverser l’ordre :
g ∘ fsignifie f d’abord. - Oublier les parenthèses en substituant :
g(2x − 1)avecg(x) = x²donne(2x − 1)², pas2x² − 1. - Oublier le facteur u′ en dérivant :
(e^(3x))′ = 3e^(3x), pase^(3x). - Confondre composée et produit :
g ∘ fn’est pasg × f.
Exercice corrigé
Soient f(x) = x² − 1 et g(x) = 2x + 3.
(g ∘ f)(x) = 2(x² − 1) + 3 =2x² + 1.(f ∘ g)(x) = (2x + 3)² − 1 =4x² + 12x + 8.(g ∘ f)(2) =9 ;(f ∘ g)(2) =48.- Dériver
h(x) = (x² − 1)⁵:h′(x) =10x(x² − 1)⁴. - Dériver
k(x) = e^(x² − 1):k′(x) =2x e^(x² − 1).
Questions fréquentes
Que signifie g ∘ f ?
C’est la fonction qui à x associe g(f(x)) : on applique f à x, puis g au résultat. On lit « g rond f ».
La composition est-elle commutative ?
Non. En général g ∘ f et f ∘ g sont différentes, comme le montre (x + 3)² et x² + 3.
Comment dériver une fonction composée ?
On applique (g ∘ u)′ = u′ × g′ ∘ u : on dérive l’extérieur en gardant l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur.
À quel niveau étudie-t-on la composition ?
En terminale, dans l’enseignement de spécialité mathématiques. En première, on rencontre déjà le cas particulier f(ax + b).