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Les intégrales
L’intégrale d’une fonction positive f entre a et b est l’aire comprise entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b. On la calcule à l’aide d’une primitive F de f : ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a).
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Calculer l’aire d’un rectangle ou d’un triangle est simple. Mais quelle est l’aire d’une surface délimitée par une courbe ? La distance parcourue par un véhicule dont la vitesse change sans cesse ? La quantité d’eau écoulée par un débit variable ? Toutes ces questions se résolvent par le calcul intégral, l’opération réciproque de la dérivation.
La notation
∫ₐᵇ f(x) dx
- Le signe ∫ est un S allongé, pour « somme » : il a été introduit par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675.
- a et b sont les bornes d’intégration.
- dx rappelle que l’on additionne des tranches infiniment fines de largeur dx et de hauteur f(x).
- La variable x est « muette » :
∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt.
L’idée : découper en rectangles
Pour estimer l’aire sous une courbe, on la découpe en bandes verticales étroites, que l’on remplace par des rectangles. La somme de leurs aires approche l’aire cherchée, d’autant mieux que les bandes sont fines. L’intégrale est la limite de ces sommes quand la largeur des bandes tend vers 0. Cette construction, rendue rigoureuse par Bernhard Riemann en 1854, s’appelle l’intégrale de Riemann.
L’idée remonte à l’Antiquité : Archimède calculait déjà l’aire d’un segment de parabole par la « méthode d’exhaustion », en l’approchant par des triangles de plus en plus nombreux.
Le théorème fondamental : intégrale et primitive
Une primitive d’une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f : F′ = f. Par exemple, F(x) = x³/3 est une primitive de f(x) = x².
Le théorème fondamental de l’analyse, découvert indépendamment par Isaac Newton et Leibniz dans les années 1660-1670, relie aire et dérivation :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
où F est n’importe quelle primitive de f. On note aussi [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a).
Une fonction possède une infinité de primitives, qui diffèrent d’une constante : si F est une primitive de f, toutes les primitives sont de la forme F + C. La constante disparaît dans le calcul F(b) − F(a).
Tableau des primitives usuelles
| Fonction f(x) | Une primitive F(x) | Condition |
|---|---|---|
| k (constante) | kx | — |
| x | x²/2 | — |
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n + 1) | n ≠ −1 |
| 1/x | ln x | x > 0 |
| 1/x² | −1/x | x ≠ 0 |
| 1/√x | 2√x | x > 0 |
| eˣ | eˣ | — |
| e^(ax) | e^(ax)/a | a ≠ 0 |
| cos x | sin x | — |
| sin x | −cos x | — |
| 1/(1 + x²) | arctan x | — |
Ce tableau se lit à l’envers du tableau des dérivées. Voir logarithme pour la fonction ln.
Les propriétés de l’intégrale
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité | ∫ₐᵇ (f + g) = ∫ₐᵇ f + ∫ₐᵇ g et ∫ₐᵇ k f = k ∫ₐᵇ f |
| Relation de Chasles | intégrale de a à b + intégrale de b à c = intégrale de a à c |
| Inversion des bornes | intégrale de b à a = − intégrale de a à b |
| Bornes égales | ∫ₐᵃ f = 0 |
| Positivité | si f ≥ 0 sur [a ; b] avec a ≤ b, alors ∫ₐᵇ f ≥ 0 |
| Croissance | si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f ≤ ∫ₐᵇ g |
Les fonctions négatives
Si f est négative sur [a ; b], l’intégrale est négative : elle vaut l’opposé de l’aire. Si f change de signe, l’intégrale est une aire algébrique : les parties au-dessus de l’axe comptent positivement, celles en dessous négativement. Par exemple, ∫₀^(2π) sin x dx = 0, les deux arches se compensant. Pour obtenir l’aire géométrique totale, on intègre |f|.
La valeur moyenne
La valeur moyenne d’une fonction f sur [a ; b] vaut :
μ = (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx
C’est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe. Exemple : la température moyenne d’une journée à partir d’un relevé continu.
Des méthodes de calcul
- Intégration par parties :
∫ₐᵇ u v′ = [u v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′ v, utile pour des produits comme x eˣ ou x ln x. - Changement de variable : on remplace x par une fonction d’une autre variable pour simplifier l’expression.
- Calcul numérique : de nombreuses fonctions, comme e^(−x²) (la courbe en cloche de la loi normale), n’ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On calcule alors l’intégrale par approximation (méthode des rectangles, des trapèzes, de Simpson).
Les applications
| Domaine | Ce que calcule l’intégrale |
|---|---|
| Géométrie | aires de surfaces courbes, volumes de solides de révolution (voir formules d’aires et volumes) |
| Physique | distance parcourue à partir de la vitesse, travail d’une force variable, énergie, centre de gravité |
| Probabilités | probabilités des lois continues : l’aire sous la courbe de densité (voir probabilités) |
| Économie | surplus du consommateur, revenu cumulé |
| Médecine | quantité totale de médicament absorbée (aire sous la courbe de concentration) |
| Ingénierie | débits, charges, traitement du signal |
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une intégrale et une primitive ?
Une primitive est une fonction dont la dérivée est f. Une intégrale entre deux bornes est un nombre, qui se calcule à l’aide d’une primitive : F(b) − F(a).
Une intégrale est-elle toujours une aire ?
Pour une fonction positive, oui. Sinon, c’est une aire algébrique : les parties de la courbe situées sous l’axe des abscisses comptent négativement.
Pourquoi ajoute-t-on une constante C aux primitives ?
Parce que la dérivée d’une constante est nulle : si F est une primitive de f, F + 5 ou F − 2 le sont aussi. La constante disparaît dans le calcul d’une intégrale.
Toutes les fonctions ont-elles une primitive ?
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, mais elles ne s’expriment pas toujours à l’aide des fonctions usuelles. On calcule alors les intégrales numériquement.