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L’infini en mathématiques
En mathématiques, l’infini n’est pas un très grand nombre : c’est ce qui n’a pas de fin. Il intervient dans les limites, les suites et les ensembles, et Cantor a montré qu’il existe plusieurs infinis.
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Combien y a-t-il de nombres entiers ? Une infinité. Et de nombres pairs ? Une infinité aussi… mais autant, moins, ou plus ? La réponse surprenante — autant — n’est qu’un des paradoxes que soulève l'infini, notion qui a troublé philosophes et mathématiciens depuis l’Antiquité et que la théorie des ensembles de Georg Cantor, à la fin du XIXe siècle, a fini par apprivoiser.
Le symbole ∞, parfois appelé lemniscate, est introduit en 1655 par le mathématicien anglais John Wallis.
Deux conceptions : infini potentiel et infini actuel
Aristote distingue :
- l'infini potentiel : un processus qui peut toujours être prolongé (on peut toujours ajouter 1 à un entier), sans jamais être achevé ;
- l'infini actuel : une totalité infinie considérée comme achevée, donnée tout entière (l’ensemble de tous les entiers).
Aristote n’admet que le premier. Pendant plus de deux millénaires, la plupart des mathématiciens partagent cette prudence. Cantor, au contraire, fait de l’infini actuel un objet mathématique à part entière.
Les paradoxes de Zénon
Au Ve siècle av. J.-C., Zénon d’Élée imagine des paradoxes pour montrer que le mouvement est contradictoire. Le plus connu est celui d'Achille et la tortue : Achille, qui court dix fois plus vite, laisse 100 mètres d’avance à la tortue. Le temps qu’il les parcoure, elle a avancé de 10 m ; le temps qu’il parcoure ces 10 m, elle a avancé de 1 m ; et ainsi de suite. Achille ne la rattraperait jamais.
La réponse mathématique est qu’une somme infinie de termes peut avoir une valeur finie :
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + … = 111,111… = 1 000 / 9 ≈ 111,1 m
Achille rattrape la tortue après environ 111,1 mètres. C’est une série géométrique convergente (voir suites numériques). Les philosophes discutent encore de la portée de cette réponse, mais elle lève la difficulté mathématique.
L’infini comme limite
En analyse, l’infini sert à décrire des comportements, sans être un nombre.
| Écriture | Sens |
|---|---|
lim (n → +∞) 1/n = 0 | quand n devient aussi grand qu’on veut, 1/n devient aussi proche de 0 qu’on veut |
lim (x → 0⁺) 1/x = +∞ | quand x s’approche de 0 par valeurs positives, 1/x dépasse n’importe quel nombre |
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2 | une somme d’une infinité de termes peut être finie |
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … = +∞ | mais pas toujours : la série harmonique diverge, très lentement |
Ce n’est qu’au XIXe siècle, avec Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass, que la notion de limite reçoit une définition rigoureuse, sans recours à des « infiniment petits » mal définis. C’est le fondement des dérivées et des intégrales.
Les ensembles infinis : la révolution de Cantor
Comparer deux ensembles infinis
Pour comparer deux ensembles, on peut chercher à associer leurs éléments un à un (une bijection), comme on vérifie qu’il y a autant de chaises que d’invités sans les compter. Si c’est possible, les deux ensembles ont le même cardinal (la même taille).
Galilée remarquait déjà en 1638 que l’on peut associer chaque entier à son carré (1 ↔ 1, 2 ↔ 4, 3 ↔ 9…) : il y a donc « autant » de carrés que d’entiers, alors que les carrés ne sont qu’une partie des entiers. Il en concluait que les notions de « plus grand » et « plus petit » ne s’appliquent pas à l’infini. Cantor en fait au contraire la définition même d’un ensemble infini : un ensemble est infini s’il peut être mis en bijection avec une de ses parties strictes (définition due à Richard Dedekind).
Le dénombrable
Un ensemble est dénombrable s’il peut être mis en bijection avec les entiers naturels ℕ, c’est-à-dire si l’on peut numéroter ses éléments. Son cardinal est noté ℵ₀ (aleph zéro).
Sont dénombrables (voir ensembles de nombres) :
- les entiers pairs : n ↔ 2n ;
- les entiers relatifs ℤ : 0, 1, −1, 2, −2, 3… ;
- et, plus surprenant, les rationnels ℚ : Cantor montre qu’on peut les ranger en une seule liste en parcourant en zigzag un tableau de toutes les fractions.
L’indénombrable
En 1874, puis par l'argument diagonal en 1891, Cantor démontre que les nombres réels ne sont pas dénombrables : quelle que soit la liste de réels que l’on propose, on peut construire un réel qui n’y figure pas, en changeant la n-ième décimale du n-ième nombre de la liste. Il y a donc strictement plus de réels que d’entiers : l’infini du continu est plus grand que l’infini dénombrable.
Conséquences : les nombres irrationnels sont indénombrables, donc « infiniment plus nombreux » que les rationnels ; et il y a autant de points sur un segment de 1 cm que sur une droite entière, ou dans un carré.
Une infinité d’infinis
Cantor démontre que pour tout ensemble, l’ensemble de ses parties est strictement plus grand (théorème de Cantor). Il n’y a donc pas de plus grand infini : il existe une hiérarchie sans fin de cardinaux infinis, ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂…
L’hypothèse du continu
Existe-t-il un infini intermédiaire entre celui des entiers et celui des réels ? Cantor pensait que non (c’est l'hypothèse du continu) mais ne put le prouver. Kurt Gödel montre en 1940 qu’on ne peut pas la réfuter à partir des axiomes usuels de la théorie des ensembles, et Paul Cohen en 1963 qu’on ne peut pas non plus la démontrer : elle est indécidable dans ce cadre (voir logique mathématique). Cohen reçut la médaille Fields en 1966.
L’hôtel de Hilbert
Le mathématicien allemand David Hilbert popularise dans les années 1920 l’image d’un hôtel infini, dont toutes les chambres, numérotées 1, 2, 3…, sont occupées.
- Un nouveau client arrive : on demande à chaque occupant de passer de la chambre n à la chambre n + 1. La chambre 1 se libère.
- Une infinité dénombrable de clients arrive : chaque occupant passe de la chambre n à la chambre 2n. Toutes les chambres impaires se libèrent.
L’hôtel est plein et pourtant peut toujours accueillir de nouveaux clients : c’est la propriété qui caractérise les ensembles infinis.
L’infini en géométrie
En géométrie projective, on ajoute au plan des « points à l’infini » où se rencontrent les droites parallèles, comme les rails semblent converger à l’horizon dans un dessin en perspective. Dans ce cadre, deux droites distinctes ont toujours exactement un point commun, ce qui simplifie de nombreux énoncés.
Questions fréquentes
L’infini est-il un nombre ?
Pas un nombre réel ordinaire. Le symbole ∞ sert à décrire des limites et des comportements. Mais en théorie des ensembles, les cardinaux infinis comme ℵ₀ sont des « nombres » d’un genre nouveau, avec leur propre arithmétique.
Y a-t-il plusieurs infinis ?
Oui. Cantor a montré que l’infini des nombres réels est strictement plus grand que celui des entiers, et qu’il existe une hiérarchie sans fin d’infinis de tailles différentes.
Y a-t-il autant de nombres pairs que de nombres entiers ?
Oui, au sens de Cantor : on peut associer chaque entier n au nombre pair 2n, sans oubli ni répétition. Les deux ensembles ont le même cardinal, ℵ₀.
Que vaut 1 divisé par 0 ?
Ce n’est pas défini. On peut seulement dire que 1/x devient aussi grand qu’on veut quand x s’approche de 0 par valeurs positives.