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Leonhard Euler
Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse, est l’un des plus prolifiques de l’histoire. Il a fixé une grande partie des notations actuelles (f(x), e, i, π) et fondé la théorie des graphes.
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Euler a publié plus de 800 mémoires et livres, dans presque tous les domaines des mathématiques et de la physique de son temps. Il a écrit une bonne partie de son œuvre en étant presque aveugle. Laplace aurait conseillé à ses élèves de lire Euler, « notre maître à tous » : la formule, rapportée par Libri, résume bien son influence.
Repères chronologiques
| Date | Événement |
|---|---|
| 15 avril 1707 | naissance à Bâle ; son père est pasteur |
| 1720 | entre à l’université de Bâle à 13 ans ; élève de Johann Bernoulli |
| 1727 | rejoint l’Académie des sciences de Saint-Pétersbourg |
| 1734 | épouse Katharina Gsell ; ils auront 13 enfants, dont 5 survivront |
| 1735 | résout le problème de Bâle |
| vers 1738 | perd l’usage de l’œil droit |
| 1736 | problème des ponts de Königsberg ; Mechanica |
| 1741 | appelé par Frédéric II à l’Académie de Berlin |
| 1748 | Introductio in analysin infinitorum |
| 1755 | Institutiones calculi differentialis |
| 1766 | retour à Saint-Pétersbourg sous Catherine II |
| 1768-1772 | Lettres à une princesse d’Allemagne ; Institutions de calcul intégral |
| vers 1771 | devient presque totalement aveugle ; continue de travailler en dictant |
| 18 septembre 1783 | mort d’une hémorragie cérébrale à Saint-Pétersbourg |
Les notations d’Euler
Beaucoup de symboles que les élèves utilisent viennent d’Euler, ou ont été imposés par ses livres.
| Notation | Sens |
|---|---|
| f(x) | fonction f appliquée à x (1734) |
| e | base des logarithmes népériens, ≈ 2,718 |
| i | racine carrée de −1 |
| π | rapport de la circonférence au diamètre, popularisé par ses ouvrages |
| Σ | somme |
| sin, cos, tan | fonctions trigonométriques comme fonctions de nombres |
Analyse
- Dans l'Introductio (1748), Euler fait de la fonction l’objet central de l’analyse et définit l’exponentielle et le logarithme comme fonctions réciproques. Voir les fonctions mathématiques.
- Il établit la formule d’Euler : e^(ix) = cos x + i sin x, qui relie exponentielle et trigonométrie. Pour x = π, on obtient e^(iπ) + 1 = 0, l'« identité d’Euler », qui réunit les cinq constantes fondamentales 0, 1, e, i et π. Voir les nombres complexes.
- Problème de Bâle (1735) : il démontre que la somme des inverses des carrés, 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + …, vaut π²/6, question qui résistait depuis 1650.
- Il développe le calcul des variations, les équations différentielles, la fonction gamma et les séries.
Théorie des nombres
- Il prouve le petit théorème de Fermat et le généralise grâce à la fonction indicatrice d’Euler φ(n), aujourd’hui au cœur du chiffrement RSA.
- Il montre que le nombre de Fermat 2^32 + 1 n’est pas premier (il est divisible par 641), réfutant une conjecture de Fermat.
- Il démontre le grand théorème de Fermat pour l’exposant 3.
- Il relie les nombres premiers à une somme infinie (produit eulérien), point de départ de la fonction zêta étudiée par Riemann.
Graphes et géométrie
Les sept ponts de Königsberg (aujourd’hui Kaliningrad) permettent-ils une promenade qui les traverse chacun une seule fois ? Euler démontre en 1736 que c’est impossible, car plus de deux zones de la ville sont reliées par un nombre impair de ponts. Ce raisonnement fonde la théorie des graphes.
En géométrie, la relation d’Euler pour les polyèdres convexes s’écrit S − A + F = 2 (sommets − arêtes + faces). Un cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces : 8 − 12 + 6 = 2. La droite d’Euler passe par le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit d’un triangle.
Physique et vulgarisation
Euler formule les équations du mouvement des fluides parfaits (équations d’Euler, 1757), la mécanique du solide, la théorie des poutres et du flambement, et un modèle du mouvement de la Lune. Ses Lettres à une princesse d’Allemagne, adressées à une nièce de Frédéric II, exposent la physique et la philosophie au grand public et furent un best-seller européen.
Héritage
L’édition complète de ses œuvres, Opera omnia, commencée en 1911, compte plus de 80 volumes. De nombreux objets portent son nom : nombre d’Euler (e), constante d’Euler-Mascheroni γ ≈ 0,577, méthode d’Euler en calcul numérique, angles d’Euler. Il figurait sur l’ancien billet suisse de 10 francs.
Questions fréquentes
Qu’a inventé Euler ?
Il a fondé la théorie des graphes, établi la formule e^(ix) = cos x + i sin x et la relation S − A + F = 2 des polyèdres, et fixé des notations comme f(x), e, i et Σ.
Qu’est-ce que l’identité d’Euler ?
L’égalité e^(iπ) + 1 = 0, qui relie les cinq constantes les plus importantes des mathématiques. Elle est souvent citée comme la plus belle formule des mathématiques.
Euler était-il aveugle ?
Il perdit la vue de l’œil droit vers 1738, puis presque totalement celle de l’œil gauche vers 1771. Grâce à une mémoire et une capacité de calcul mental exceptionnelles, il continua à produire en dictant à ses fils et à ses assistants.