Henri Poincaré

Poincaré est souvent présenté comme le dernier « universaliste », capable de maîtriser toutes les branches des mathématiques et de la physique de son temps. Il a publié plus de 500 articles et une trentaine de livres. Il a aussi écrit pour un large public des ouvrages de réflexion sur la science, dont La Science et l’Hypothèse, toujours lus.

Repères chronologiques

Son cousin germain, Raymond Poincaré, fut président de la République de 1913 à 1920.

Le problème des trois corps et le chaos

En 1887, le roi Oscar II de Suède offre un prix à qui démontrera la stabilité du système solaire. Poincaré remporte le prix en 1889 avec un mémoire sur le problème des trois corps. Pendant l’impression, il découvre une erreur ; il fait détruire les exemplaires à ses frais et corrige son mémoire. La correction contient une découverte majeure : certaines trajectoires sont d’une complexité inouïe, et une infime différence dans les conditions initiales peut produire des évolutions totalement différentes.

C’est la première description de ce qu’on appellera le chaos déterministe : un système gouverné par des lois exactes peut être imprévisible à long terme. Il l’exprime dans Science et méthode : une petite cause qui nous échappe peut produire un effet considérable. Le météorologue Edward Lorenz popularisera l’idée en 1972 avec l'« effet papillon ». Ce résultat limite le déterminisme pratique de Laplace.

Poincaré invente pour cela des outils qualitatifs nouveaux : sections de Poincaré, théorème de récurrence, étude des orbites périodiques.

La topologie et la conjecture de Poincaré

Dans Analysis situs (1895), Poincaré fonde la topologie algébrique, qui étudie les propriétés des formes conservées par les déformations continues, sans déchirure. Il introduit le groupe fondamental, qui mesure les « trous » d’un espace par les lacets qu’on y trace.

C’est l’un des sept problèmes du prix du millénaire de l’institut Clay. Le Russe Grigori Perelman la démontre en 2002-2003, à partir des travaux de Richard Hamilton. Il refuse la médaille Fields en 2006 et le prix Clay en 2010.

La relativité

Poincaré contribue de manière décisive à la préparation de la relativité restreinte :

• en 1898, il discute la définition conventionnelle de la simultanéité de deux événements éloignés ;
• en 1904, il énonce le principe de relativité : les lois de la physique doivent être les mêmes pour tous les observateurs en mouvement uniforme ;
• en 1905, il donne aux transformations de Lorentz leur forme exacte et montre qu’elles forment un groupe, le « groupe de Lorentz ».

Einstein, la même année, en tire une théorie physique entièrement nouvelle de l’espace et du temps, sans éther. La part respective des deux savants a donné lieu à de longs débats ; on reconnaît généralement à Poincaré la mathématique de la théorie et à Einstein sa refondation physique.

Philosophie des sciences

Dans La Science et l’Hypothèse (1902), Poincaré défend le conventionnalisme : certains principes, comme les axiomes de la géométrie, ne sont ni vrais ni faux mais des conventions choisies pour leur commodité. Il analyse le rôle de l’intuition dans la découverte, en racontant comment l’idée des fonctions fuchsiennes lui vint au moment où il montait dans un omnibus. Voir la méthode scientifique.

Questions fréquentes

Qu’a découvert Henri Poincaré ?

Le caractère chaotique de certains systèmes dynamiques comme le problème des trois corps, les bases de la topologie algébrique, les fonctions automorphes, et la forme mathématique du groupe de Lorentz utilisé par la relativité.

Qu’est-ce que la conjecture de Poincaré ?

L’énoncé, formulé en 1904, selon lequel tout espace de dimension 3 fermé et sans « trou » est équivalent à une sphère. Elle a été démontrée par Grigori Perelman en 2003.

Poincaré a-t-il découvert la relativité avant Einstein ?

Il en avait établi en 1904-1905 plusieurs éléments mathématiques et le principe de relativité. Mais c’est Einstein qui a formulé en 1905 une théorie nouvelle de l’espace et du temps, sans éther ni hypothèse sur la matière.