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Bernhard Riemann
Bernhard Riemann (1826-1866), mathématicien allemand, a inventé la géométrie des espaces courbes utilisée par la relativité générale et formulé l’hypothèse de Riemann, le plus célèbre problème ouvert des mathématiques.
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Mort de la tuberculose à 39 ans, Riemann a publié peu, mais presque chacun de ses articles a ouvert un domaine entier. Il a donné sa définition rigoureuse à l’intégrale, inventé une géométrie valable dans un nombre quelconque de dimensions et relié la répartition des nombres premiers aux zéros d’une fonction complexe. Son hypothèse sur ces zéros résiste depuis 1859.
Repères chronologiques
| Date | Événement |
|---|---|
| 17 septembre 1826 | naissance ; fils d’un pasteur luthérien, enfance pauvre |
| 1846 | entre à l’université de Göttingen pour étudier la théologie, puis passe aux mathématiques |
| 1847-1849 | études à Berlin (Dirichlet, Jacobi, Eisenstein) |
| 1851 | thèse sous la direction de Gauss : fonctions d’une variable complexe, surfaces de Riemann |
| 1854 | mémoire d’habilitation sur les séries trigonométriques (intégrale de Riemann) |
| 10 juin 1854 | leçon inaugurale Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie |
| 1857 | professeur extraordinaire à Göttingen ; théorie des fonctions abéliennes |
| 1859 | succède à Dirichlet, titulaire de la chaire de Gauss ; élu à l’Académie de Berlin |
| novembre 1859 | article Sur le nombre de nombres premiers inférieurs à une grandeur donnée |
| 1862 | épouse Elise Koch ; atteint de tuberculose, séjourne en Italie |
| 20 juillet 1866 | mort à Selasca, au bord du lac Majeur |
L’intégrale de Riemann
Pour étudier les séries de Fourier, Riemann donne en 1854 une définition précise de l’intégrale : on découpe l’intervalle en petits morceaux, on additionne les aires de rectangles, et on regarde si la somme a une limite quand les morceaux deviennent infiniment petits. Ces sommes de Riemann sont la définition enseignée au lycée et en premier cycle. Voir les intégrales.
La géométrie riemannienne
Dans sa leçon de 1854, devant Gauss qui avait choisi le sujet parmi trois propositions, Riemann généralise la géométrie des surfaces courbes de Gauss à des espaces de n dimensions quelconques. Il définit la distance entre deux points infiniment proches par une formule qui peut varier d’un point à l’autre (la métrique), et la courbure qui en découle.
| Géométrie | Somme des angles d’un triangle | Exemple |
|---|---|---|
| euclidienne (courbure nulle) | 180° | plan |
| sphérique ou elliptique (courbure positive) | plus de 180° | surface d’une sphère |
| hyperbolique (courbure négative) | moins de 180° | selle de cheval |
Riemann suggère que la géométrie de l’espace physique est une question empirique, qui dépend peut-être des forces qui y agissent. Soixante ans plus tard, Einstein utilise cette géométrie pour formuler la relativité générale (1915), où la matière courbe l’espace-temps.
Surfaces de Riemann et analyse complexe
Dans sa thèse de 1851, Riemann étudie les fonctions d’une variable complexe d’un point de vue géométrique. Pour représenter des fonctions qui prennent plusieurs valeurs, comme la racine carrée, il imagine des surfaces à plusieurs feuillets, les surfaces de Riemann. Il démontre aussi le théorème de représentation conforme et relie l’analyse à la topologie. Voir les nombres complexes.
La fonction zêta et l’hypothèse de Riemann
Dans un article de huit pages (1859), son seul texte de théorie des nombres, Riemann étudie la fonction zêta, définie à partir de la somme 1 + 1/2^s + 1/3^s + …, déjà utilisée par Euler, mais pour des valeurs complexes de s. Il montre que la répartition des nombres premiers est gouvernée par les zéros de cette fonction.
Riemann l’énonce comme « très probable » sans la démontrer. Des milliards de zéros ont été vérifiés par ordinateur, tous sur la droite critique, mais aucune démonstration n’existe. L’hypothèse fait partie des problèmes de Hilbert (1900) et des sept problèmes du prix du millénaire de l’institut Clay (2000), dotés chacun d’un million de dollars. Sa démonstration préciserait l’écart entre la répartition réelle des nombres premiers et leur estimation moyenne.
Héritage
Riemann a profondément changé la manière de faire des mathématiques, en privilégiant les idées conceptuelles sur le calcul. Tenseur de Riemann, sphère de Riemann, théorème de Riemann-Roch, équations de Cauchy-Riemann : son nom est partout en analyse, en géométrie et en physique théorique.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’hypothèse de Riemann ?
Une conjecture formulée en 1859 selon laquelle tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont une partie réelle égale à 1/2. Elle est liée à la répartition des nombres premiers et n’est toujours pas démontrée.
Quel est le lien entre Riemann et Einstein ?
La relativité générale d’Einstein décrit la gravitation comme une courbure de l’espace-temps, avec les outils de la géométrie riemannienne inventée en 1854.
L’hypothèse de Riemann a-t-elle été démontrée ?
Non. Elle reste ouverte et figure parmi les problèmes du prix du millénaire de l’institut Clay, récompensés d’un million de dollars.