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Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), mathématicien né à Turin et mort à Paris, a refondé la mécanique sur le calcul des variations. Les points de Lagrange, utilisés par les télescopes spatiaux, portent son nom.
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Lagrange est l’un des plus grands mathématiciens du XVIIIe siècle, successeur d’Euler à Berlin puis figure majeure de la science française sous la Révolution et l’Empire. Sa Mécanique analytique (1788) réduit toute la mécanique à quelques principes et à des équations générales, sans aucune figure. Ses méthodes servent encore en physique théorique, en astronautique et en économie.
Repères chronologiques
| Date | Événement |
|---|---|
| 25 janvier 1736 | naissance à Turin, dans une famille d’origine française par son arrière-grand-père |
| 1755 | à 19 ans, envoie à Euler sa méthode du calcul des variations ; professeur à l’école d’artillerie de Turin |
| 1757 | cofonde la société savante qui deviendra l’Académie des sciences de Turin |
| 1764 | prix de l’Académie de Paris sur la libration de la Lune |
| 1766 | succède à Euler à Berlin, à l’invitation de Frédéric II |
| 1770-1771 | Réflexions sur la résolution algébrique des équations |
| 1772 | étude du problème des trois corps : points de Lagrange |
| 1787 | après la mort de Frédéric II, s’installe à Paris |
| 1788 | Mécanique analytique |
| 1790 | membre, puis président, de la commission des poids et mesures |
| 1794-1795 | professeur à l’École polytechnique et à l’École normale de l’an III |
| 1797 | Théorie des fonctions analytiques |
| 1808 | comte d’Empire |
| 10 avril 1813 | mort à Paris ; inhumé au Panthéon |
Le calcul des variations
Le calcul des variations cherche, parmi toutes les courbes ou fonctions possibles, celle qui rend une quantité minimale ou maximale : par exemple la courbe de descente la plus rapide (brachistochrone). Euler avait traité ces problèmes avec des méthodes géométriques ; Lagrange, à 19 ans, en donne une méthode purement analytique. Euler, enthousiaste, adopte ses notations et baptise la discipline « calcul des variations ». On en tire les équations d’Euler-Lagrange.
La Mécanique analytique
Dans la Mécanique analytique (1788), Lagrange reformule la mécanique de Newton. Au lieu de forces vectorielles, il utilise une seule fonction, aujourd’hui appelée lagrangien (différence entre énergie cinétique et énergie potentielle), et des coordonnées généralisées adaptées au problème. Les équations de Lagrange permettent de traiter des systèmes complexes (pendules couplés, solides, systèmes avec contraintes) de manière uniforme. La préface prévient fièrement que l’ouvrage ne contient aucune figure.
Cette approche, prolongée par Hamilton en 1834, est à la base de la mécanique quantique et de la théorie des champs : le modèle standard des particules s’écrit sous forme d’un lagrangien.
Les points de Lagrange
En étudiant le problème des trois corps (1772), Lagrange découvre qu’il existe, pour deux grands astres en orbite l’un autour de l’autre, cinq positions où un petit corps reste fixe par rapport à eux.
| Point | Position (système Soleil-Terre) | Utilisation |
|---|---|---|
| L1 | entre le Soleil et la Terre, à 1,5 million de km de la Terre | observation du Soleil (sonde SOHO) |
| L2 | au-delà de la Terre, à 1,5 million de km | télescopes James-Webb, Gaia, Euclid |
| L3 | de l’autre côté du Soleil | aucune mission |
| L4 et L5 | à 60° en avant et en arrière de la Terre sur son orbite | points stables ; astéroïdes troyens chez Jupiter |
Les astéroïdes troyens de Jupiter, découverts à partir de 1906, ont confirmé l’existence des points L4 et L5.
Algèbre et théorie des nombres
- Ses Réflexions (1770-1771) analysent pourquoi on sait résoudre les équations jusqu’au degré 4 par radicaux en étudiant les permutations des racines : c’est le point de départ des travaux d’Abel et de Galois.
- Le théorème de Lagrange en théorie des groupes (l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre du groupe) découle de ces travaux.
- En 1770, il démontre que tout entier naturel est la somme de quatre carrés (par exemple 7 = 4 + 1 + 1 + 1).
- Il introduit la notation f′(x) pour la dérivée et le mot « dérivée ». Voir les dérivées.
Le système métrique
Sous la Révolution, Lagrange préside la commission des poids et mesures et défend la base décimale du nouveau système. Lors de l’arrestation de Lavoisier, en 1794, il aurait déploré qu’il ait fallu un instant pour faire tomber cette tête et qu’un siècle ne suffirait peut-être pas pour en produire une semblable ; le propos est rapporté par son biographe Delambre.
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un point de Lagrange ?
Une position, dans un système de deux astres en orbite, où un petit objet reste immobile par rapport à eux, les forces de gravité et le mouvement s’équilibrant. Il en existe cinq, notés L1 à L5.
Lagrange était-il italien ou français ?
Né à Turin dans le royaume de Sardaigne, il a fait carrière à Turin, Berlin puis Paris, où il a vécu les vingt-six dernières années de sa vie. Les deux pays le revendiquent ; il repose au Panthéon.
Qu’est-ce que le lagrangien ?
Une fonction qui résume la dynamique d’un système, égale en mécanique classique à l’énergie cinétique moins l’énergie potentielle. Les équations du mouvement s’en déduisent par le calcul des variations.