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Le nombre pi (π)
Pi (π) est le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. Il vaut environ 3,14159 et c’est un nombre irrationnel : ses décimales sont infinies et ne se répètent jamais.
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Quel que soit le cercle, d’une pièce de monnaie à l’équateur terrestre, son périmètre divisé par son diamètre donne toujours le même nombre : π. Cette constante apparaît dans toutes les formules liées au cercle et à la sphère, mais aussi, de façon plus surprenante, en probabilités, en physique et en théorie des nombres. La lettre grecque π, initiale de perimetros (« périmètre »), a été utilisée en ce sens par William Jones en 1706 et popularisée par Leonhard Euler à partir de 1737.
Les premières décimales
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
Approximations usuelles :
| Approximation | Valeur | Précision |
|---|---|---|
| 3 | 3 | Bible, Babyloniens (estimation courante) |
| 3,14 | 3,14 | 2 décimales exactes |
| 22/7 | 3,142 857… | 2 décimales exactes (Archimède) |
| 355/113 | 3,141 592 9… | 6 décimales exactes (Zu Chongzhi, Ve siècle) |
| 3,14159 | — | Suffisant pour la plupart des calculs techniques |
La NASA indique utiliser 15 décimales de π pour ses calculs de navigation interplanétaire ; avec une quarantaine de décimales, on calculerait la circonférence de l’Univers observable à la précision d’un atome d’hydrogène.
Les formules où apparaît π
| Grandeur | Formule |
|---|---|
| Périmètre du cercle | P = 2 × π × r = π × D |
| Aire du disque | A = π × r² |
| Aire de la sphère | S = 4 × π × r² |
| Volume de la boule | V = (4/3) × π × r³ |
| Volume du cylindre | V = π × r² × h |
| Tour complet en radians | 360° = 2π rad |
Voir le tableau complet des formules d’aires et de volumes.
Les propriétés de π
- Irrationnel : π ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers ; son développement décimal est infini et non périodique. Démontré par Johann Heinrich Lambert en 1761 (publié en 1768).
- Transcendant : π n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients entiers. Démontré par Ferdinand von Lindemann en 1882. Conséquence : la quadrature du cercle (construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un cercle donné) est impossible, ce qui a clos un problème posé depuis l’Antiquité.
- Normalité : on conjecture que tous les chiffres et toutes les séquences de chiffres apparaissent avec la même fréquence dans ses décimales, mais ce n’est pas démontré.
Histoire du calcul de π
| Époque | Auteur | Méthode | Résultat |
|---|---|---|---|
| ≈ 1900 av. J.-C. | Babyloniens | Mesures | 3 1/8 = 3,125 |
| ≈ 1650 av. J.-C. | Papyrus Rhind (Égypte) | Aire du disque | (16/9)² ≈ 3,160 5 |
| IIIe s. av. J.-C. | Archimède | Polygones à 96 côtés inscrits et circonscrits | entre 3 10/71 et 3 1/7 (3,1408 – 3,1429) |
| Ve siècle | Zu Chongzhi (Chine) | Polygones | 355/113, 7 décimales encadrées |
| ≈ 1400 | Madhava (Inde) | Séries infinies | 11 décimales |
| 1610 | Ludolph van Ceulen | Polygones à 2⁶² côtés | 35 décimales |
| 1706 | John Machin | Formule à arctangentes | 100 décimales |
| 1873 | William Shanks | Calcul à la main | 707 décimales (fausses à partir de la 528e) |
| 1949 | ENIAC | Premier calcul par ordinateur | 2 037 décimales |
| 2025 | Linus Media Group et KIOXIA (y-cruncher) | Formule de Tchoudnovsky | 300 000 milliards de décimales |
La méthode d’Archimède est remarquable : en encadrant le cercle entre deux polygones réguliers dont on sait calculer le périmètre, il obtient un encadrement rigoureux, première démarche d’approximation par encadrement de l’histoire.
Quelques formules célèbres
- Série de Leibniz (Madhava, puis Gregory et Leibniz au XVIIe siècle) :
π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − …(élégante mais extrêmement lente). - Produit de Wallis (1655) :
π/2 = (2/1) × (2/3) × (4/3) × (4/5) × (6/5) × (6/7) × … - Problème de Bâle (résolu par Euler en 1734-1735) :
1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … = π²/6. - Identité d’Euler :
e^(iπ) + 1 = 0, qui relie les cinq constantes fondamentales 0, 1, e, i et π. - Aiguille de Buffon (1777) : une aiguille de longueur ℓ lâchée au hasard sur un parquet à lames de largeur ℓ croise une rainure avec une probabilité 2/π. On peut ainsi estimer π par l’expérience (voir les probabilités).
Le jour de π
Le 14 mars (3/14 en notation américaine) est célébré comme le « jour de π » depuis 1988, à l’initiative du physicien Larry Shaw. L’UNESCO l’a proclamé Journée internationale des mathématiques en 2019. C’est aussi la date de naissance d’Albert Einstein (1879) et de la mort de Stephen Hawking (2018).
Questions fréquentes
Pourquoi π est-il infini ?
π n’est pas « infini » : c’est un nombre compris entre 3 et 4. C’est son écriture décimale qui est infinie et non périodique, parce qu’il est irrationnel : aucune fraction ne l’exprime exactement.
22/7 est-il égal à π ?
Non. 22/7 = 3,142 857… est une approximation, plus grande que π d’environ 0,04 %. Elle est pratique pour le calcul mental.
Combien de décimales de π connaît-on ?
300 000 milliards (300 000 000 000 000), calculées par ordinateur en avril 2025 avec le logiciel y-cruncher. Ce record est régulièrement battu ; il sert surtout à tester les performances du matériel et des algorithmes.
Pourquoi la lettre π ?
C’est l’initiale du mot grec periphereia ou perimetros, « circonférence, périmètre ». William Jones l’a employée en 1706, et Euler l’a imposée.