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Le triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est un tableau où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui. Sa ligne n donne les coefficients binomiaux « k parmi n », utiles pour développer (a + b)ⁿ et dénombrer.
Mis à jour le 4 min de lecture
Le triangle porte le nom de Blaise Pascal, qui lui consacre en 1654 son Traité du triangle arithmétique, mais il était connu bien avant : en Inde, en Perse (al-Karaji, Omar Khayyam) et en Chine, où Yang Hui le décrit au XIIIe siècle. En une figure simple, il réunit algèbre, dénombrement et probabilités.
Construire le triangle
- La ligne 0 contient un seul 1.
- Chaque ligne commence et finit par 1.
- Chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres au-dessus de lui (à gauche et juste au-dessus dans la présentation en tableau).
| n | k = 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Cette règle est la formule de Pascal : C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Interprétation : pour choisir k objets parmi n, soit on prend un objet donné (il reste k − 1 à choisir parmi n − 1), soit on ne le prend pas (k parmi n − 1).
Calculer un coefficient sans le triangle
Raccourci : C(n, k) = produit des k entiers décroissants à partir de n, divisé par k!.
Le binôme de Newton
Les lignes du triangle donnent les coefficients du développement de (a + b)ⁿ :
(a + b)ⁿ = C(n, 0)aⁿ + C(n, 1)aⁿ⁻¹b + C(n, 2)aⁿ⁻²b² + … + C(n, n)bⁿ.
| Puissance | Développement |
|---|---|
(a + b)² | a² + 2ab + b² |
(a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
(a + b)⁴ | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
La ligne 2 (1, 2, 1) redonne l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b². Pour (a − b)ⁿ, les signes alternent : (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Propriétés à connaître
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Symétrie | C(n, k) = C(n, n − k) | C(6, 2) = C(6, 4) = 15 |
| Bords | C(n, 0) = C(n, n) = 1 | — |
| Deuxième diagonale | C(n, 1) = n | C(7, 1) = 7 |
| Somme d’une ligne | C(n, 0) + … + C(n, n) = 2ⁿ | Ligne 4 : 16 |
| Somme alternée | C(n, 0) − C(n, 1) + … = 0 (n ≥ 1) | 1 − 4 + 6 − 4 + 1 = 0 |
- La somme de la ligne n vaut
2ⁿ: c’est le nombre total de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments. - La troisième diagonale (1, 3, 6, 10, 15…) est celle des nombres triangulaires, la suivante celle des nombres tétraédriques.
- Les sommes des « diagonales montantes » donnent la suite de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8…
- Si p est premier, tous les coefficients intérieurs de la ligne p sont divisibles par p (ligne 7 : 7, 21, 35, 35, 21, 7).
- En coloriant les nombres impairs, on voit apparaître le triangle de Sierpiński, une figure fractale.
Applications en probabilités
Si l’on lance une pièce équilibrée n fois, la probabilité d’obtenir exactement k « pile » vaut C(n, k) / 2ⁿ : c’est la loi binomiale (voir les probabilités). Pour 4 lancers, les nombres de cas 1, 4, 6, 4, 1 sur 16 montrent que 2 « pile » est le résultat le plus probable (6/16 = 37,5 %).
Erreurs fréquentes
- Se tromper de numérotation : la première ligne est la ligne 0 et le premier terme est k = 0.
- Oublier les coefficients :
(a + b)³ ≠ a³ + b³. - Confondre combinaison et arrangement : C(n, k) ne tient pas compte de l’ordre ; pour un classement, on ne divise pas par k!.
Questions fréquentes
Comment calculer « k parmi n » ?
Avec la formule n! / (k!(n − k)!), ou en lisant la ligne n, position k, du triangle de Pascal. À la calculatrice, la touche s’appelle souvent nCr ou Combinaison.
Pourquoi la somme d’une ligne vaut-elle 2ⁿ ?
Parce qu’en posant a = b = 1 dans le binôme, (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ est la somme des coefficients. Combinatoirement, c’est le nombre de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments.
Pascal a-t-il inventé le triangle ?
Non : il était connu des mathématiciens indiens, persans et chinois des siècles plus tôt. Pascal en a fait une étude systématique et l’a appliqué aux probabilités.
À quoi sert le triangle de Pascal ?
À développer des puissances de binômes, à compter des combinaisons, à calculer des probabilités binomiales et à repérer de nombreuses suites remarquables.