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Le théorème de Bayes
Le théorème de Bayes permet de calculer P(A | B) à partir de P(B | A) : P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B). Il sert à mettre à jour une probabilité à la lumière d’une observation.
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Un test de dépistage fiable à 99 % est positif : quelle est la probabilité d’être malade ? La réponse intuitive, 99 %, est souvent très fausse. Le théorème de Bayes donne la bonne réponse, et elle dépend d’une information que l’intuition oublie : la fréquence de la maladie. Cette formule de quelques symboles est devenue l’un des outils les plus utilisés en médecine, en statistique, en justice et en intelligence artificielle.
D’où vient la formule ?
Elle découle directement de la définition des probabilités conditionnelles. On a P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) et aussi P(A ∩ B) = P(B | A) × P(A). En égalant les deux expressions et en divisant par P(B), on obtient la formule.
Le dénominateur se calcule en général par la formule des probabilités totales :
P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | non A) × P(non A)
L’exemple du test médical
Une maladie touche 1 personne sur 1 000. Un test la détecte dans 99 % des cas (sensibilité) et donne un résultat négatif chez 98 % des personnes saines (spécificité), donc 2 % de faux positifs. Une personne est testée positive. Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ?
Avec des effectifs (méthode la plus claire) : sur 100 000 personnes,
| Test positif | Test négatif | Total | |
|---|---|---|---|
| Malades | 99 | 1 | 100 |
| Saines | 1 998 | 97 902 | 99 900 |
| Total | 2 097 | 97 903 | 100 000 |
Parmi les 2 097 personnes positives, seules 99 sont malades : 99 / 2 097 ≈ 4,7 %.
Avec la formule : P(M | +) = 0,99 × 0,001 / (0,99 × 0,001 + 0,02 × 0,999) ≈ 0,00099 / 0,02097 ≈ 0,047.
Un test positif fait passer la probabilité de 0,1 % à environ 4,7 % : elle est multipliée par près de 50, mais reste faible, parce que les faux positifs chez les très nombreuses personnes saines sont bien plus nombreux que les vrais positifs. C’est pourquoi un résultat positif de dépistage est toujours confirmé par un second examen.
L’oubli de la fréquence de base
Négliger P(A), la fréquence de base, est un biais documenté par les psychologues Daniel Kahneman et Amos Tversky dans les années 1970 : le biais de négligence du taux de base. Des études ont montré que de nombreux médecins surestiment fortement la valeur prédictive d’un test positif. Voir les biais cognitifs.
Raisonner de façon bayésienne
Le théorème décrit la façon rationnelle de réviser une croyance :
- Partir d’une probabilité a priori (ce que l’on sait avant).
- Observer un indice.
- Le pondérer par sa vraisemblance : est-il beaucoup plus probable si l’hypothèse est vraie que si elle est fausse ?
- Obtenir une probabilité a posteriori, qui devient le nouveau point de départ.
Le rapport P(B | A) / P(B | non A) s’appelle le rapport de vraisemblance : plus il est grand, plus l’indice est probant. Un indice aussi probable dans les deux cas n’apporte aucune information.
Applications
- Médecine : interprétation des tests, diagnostic différentiel.
- Filtres anti-spam : chaque mot d’un courriel modifie la probabilité qu’il s’agisse d’un spam (« gratuit » est plus fréquent dans les spams que dans les courriels normaux). Les filtres bayésiens se sont répandus au début des années 2000.
- Justice : évaluation d’une preuve ADN. Une concordance qui ne se produit qu’une fois sur un million chez un innocent ne signifie pas qu’il y a une chance sur un million que l’accusé soit innocent : tout dépend du nombre de suspects possibles (c’est l'erreur du procureur).
- Intelligence artificielle : classifieurs bayésiens, réseaux bayésiens, apprentissage statistique (voir l'intelligence artificielle).
- Recherche d’objets perdus : des méthodes bayésiennes ont servi à localiser des épaves et des sous-marins, en mettant à jour la carte des probabilités après chaque zone fouillée sans succès.
Histoire
Le révérend Thomas Bayes (vers 1701-1761), pasteur presbytérien anglais, étudie le problème de l'« inversion » des probabilités. Son essai est publié en 1763, après sa mort, par son ami Richard Price. Pierre-Simon de Laplace redécouvre et généralise le résultat de manière indépendante en 1774 et en fait un outil général d’inférence. Au XXe siècle, l’approche bayésienne, qui voit la probabilité comme un degré de croyance, s’oppose à l’approche fréquentiste, qui la voit comme une fréquence à long terme ; les deux coexistent aujourd’hui en statistique.
Questions fréquentes
À quoi sert le théorème de Bayes ?
À calculer la probabilité d’une cause à partir d’un effet observé, quand on connaît la probabilité de l’effet sachant la cause. Par exemple, la probabilité d’être malade sachant que le test est positif.
Pourquoi un test fiable peut-il donner surtout des faux positifs ?
Quand la maladie est rare, les personnes saines sont si nombreuses que même un faible taux d’erreur chez elles produit plus de positifs que les vrais malades.
Quelle est la différence entre P(A | B) et P(B | A) ?
La première est la probabilité de A quand on sait B ; la seconde, celle de B quand on sait A. Le théorème de Bayes permet de passer de l’une à l’autre.
Qu’est-ce qu’une probabilité a priori ?
La probabilité d’une hypothèse avant de prendre en compte une nouvelle observation, par exemple la fréquence d’une maladie dans la population.