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Le théorème des valeurs intermédiaires
Si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b], elle prend toutes les valeurs comprises entre f(a) et f(b). Si de plus elle est strictement monotone, l’équation f(x) = k a une solution unique.
Mis à jour le 4 min de lecture
Si vous partez du pied d’une montagne à 500 m d’altitude et arrivez au sommet à 2 000 m, vous êtes forcément passé par l’altitude 1 200 m, quel que soit le chemin. C’est l’idée du théorème des valeurs intermédiaires (souvent abrégé TVI) : une grandeur qui varie sans saut ne peut pas « sauter » une valeur. Démontré rigoureusement par Bernard Bolzano en 1817, il permet de prouver qu’une équation a une solution sans savoir la calculer.
Le corollaire : la bijection
La continuité garantit l'existence, la stricte monotonie l'unicité. Le résultat s’étend aux intervalles ouverts ou infinis en remplaçant f(a) et f(b) par les limites aux bornes.
Exemple rédigé
Montrer que l’équation x³ + x − 1 = 0 a une unique solution sur ℝ, puis l’encadrer.
f(x) = x³ + x − 1est un polynôme, donc continue sur ℝ (voir la continuité).f′(x) = 3x² + 1 > 0: f est strictement croissante sur ℝ.lim f = −∞en −∞ etlim f = +∞en +∞. 0 est compris entre ces limites.- D’après le corollaire du TVI, l’équation
f(x) = 0a une unique solution α dans ℝ. f(0) = −1 < 0etf(1) = 1 > 0, donc0 < α < 1. Puisf(0,6) = −0,184etf(0,7) = 0,043, donc0,6 < α < 0,7.
La solution vaut environ 0,682. Aucune formule simple ne la donne directement : le TVI garantit qu’elle existe.
Avec un tableau de variations
Quand f change de sens de variation, on applique le corollaire sur chaque intervalle où elle est strictement monotone (voir le tableau de variations).
Trouver une valeur approchée
Le balayage
On calcule f à pas réguliers (0,1 puis 0,01…) et on repère le changement de signe. C’est la méthode de la calculatrice en mode tableau.
La dichotomie
On coupe l’intervalle en deux à chaque étape et l’on garde la moitié où f change de signe. C’est un algorithme classique.
| Étape | Intervalle | Milieu m | f(m) pour x³ + x − 1 |
|---|---|---|---|
| 1 | [0 ; 1] | 0,5 | −0,375 |
| 2 | [0,5 ; 1] | 0,75 | 0,172 |
| 3 | [0,5 ; 0,75] | 0,625 | −0,131 |
| 4 | [0,625 ; 0,75] | 0,6875 | 0,0125 |
| 5 | [0,625 ; 0,6875] | … | … |
L’amplitude est divisée par 2 à chaque étape : après 10 étapes, elle est divisée par 1 024, ce qui donne environ trois décimales.
Pourquoi la continuité est indispensable
Sans continuité, le théorème est faux. La fonction partie entière vaut 0 en 0,5 et 1 en 1,5, mais ne prend jamais la valeur 0,5. De même, 1/x vaut −1 en −1 et 1 en 1, sans jamais s’annuler : elle n’est pas définie (donc pas continue) sur [−1 ; 1].
Le théorème ne dit pas non plus combien il y a de solutions : sans monotonie, il peut y en avoir plusieurs.
Applications surprenantes
- Tout polynôme de degré impair a au moins une racine réelle : il tend vers −∞ d’un côté et +∞ de l’autre (voir les polynômes).
- Le théorème du randonneur : un marcheur monte un sentier de 8 h à 18 h, puis le redescend le lendemain aux mêmes heures. Il existe un point du chemin où il se trouve à la même heure les deux jours. (On applique le TVI à la différence des deux positions.)
- Le point fixe : toute fonction continue de [0 ; 1] dans [0 ; 1] a au moins un point fixe, c’est-à-dire un x tel que
f(x) = x. - La table bancale : sur un sol continu, on peut toujours faire tourner une table carrée à quatre pieds pour qu’elle soit stable (sous des hypothèses idéalisées).
Erreurs fréquentes
- Oublier de citer la continuité dans la rédaction.
- Conclure à l’unicité sans stricte monotonie.
- Vérifier que k est entre f(a) et f(b) à l’envers, ou oublier ce point.
- Croire que le théorème donne la valeur de la solution : il n’en donne que l’existence.
Questions fréquentes
À quoi sert le théorème des valeurs intermédiaires ?
À prouver qu’une équation f(x) = k a au moins une solution sur un intervalle, et, avec la monotonie, exactement une. On l’encadre ensuite par balayage ou dichotomie.
Quelles sont les conditions du TVI ?
f doit être continue sur l’intervalle [a ; b], et k doit être compris entre f(a) et f(b). Pour l’unicité, f doit en plus être strictement monotone.
Le TVI s’applique-t-il à une fonction non continue ?
Non. Une fonction avec un saut peut « sauter » certaines valeurs, comme la partie entière.
Qui a démontré le théorème des valeurs intermédiaires ?
Bernard Bolzano, mathématicien de Prague, en 1817, à une époque où la notion de continuité commençait à être définie rigoureusement. Cauchy en donne une autre preuve en 1821.