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Les séries mathématiques
Une série est la somme d’une infinité de termes u₀ + u₁ + u₂ + … Elle converge si les sommes partielles s’approchent d’une valeur finie : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1. Sinon, elle diverge.
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Peut-on additionner une infinité de nombres et obtenir un résultat fini ? Le paradoxe de Zénon d’Élée (Ve siècle av. J.-C.) le suggérait déjà : pour traverser une pièce, il faut d’abord en parcourir la moitié, puis la moitié du reste, et ainsi de suite, sans fin. La réponse moderne est oui, à condition de définir précisément ce qu’est une somme infinie. Les séries servent à calculer π, e ou les fonctions trigonométriques, et elles sont au cœur de l’analyse et de la physique (voir l'infini en mathématiques).
La série géométrique
C’est la série de référence : 1 + q + q² + q³ + …
La somme partielle vaut Sₙ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) pour q ≠ 1 (voir les suites numériques). Comme qⁿ⁺¹ tend vers 0 si et seulement si −1 < q < 1 (voir la limite d’une suite) :
| Raison | Résultat |
|---|---|
| −1 < q < 1 | Converge : 1 + q + q² + … = 1/(1 − q) |
| q ≥ 1 ou q ≤ −1 | Diverge |
Une condition nécessaire, non suffisante
Si une série converge, son terme général tend vers 0. Mais la réciproque est fausse, et c’est le piège principal.
La série harmonique diverge
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … diverge, alors que 1/n tend vers 0. Preuve de Nicole Oresme (XIVe siècle) : on regroupe les termes.
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + … + 1/8) + …
Chaque groupe vaut au moins 1/2 (1/3 + 1/4 > 1/4 + 1/4). On ajoute une infinité de fois au moins 1/2 : la somme est infinie. Elle croît pourtant très lentement, comme ln n (voir le logarithme) : il faut plus de 12 000 termes pour dépasser 10.
Les séries de Riemann
Σ 1/nᵅ = 1 + 1/2ᵅ + 1/3ᵅ + … converge si et seulement si α > 1.
| α | Série | Comportement |
|---|---|---|
| 1/2 | 1 + 1/√2 + 1/√3 + … | Diverge |
| 1 | Harmonique | Diverge |
| 2 | 1 + 1/4 + 1/9 + … | Converge vers π²/6 (Euler, 1734-1735) |
| 4 | 1 + 1/16 + 1/81 + … | Converge vers π⁴/90 |
Vue comme une fonction de α, cette somme est la fonction zêta, au cœur de l'hypothèse de Riemann.
Les critères de convergence
| Critère | Énoncé (séries à termes positifs) |
|---|---|
| Comparaison | Si 0 ≤ uₙ ≤ vₙ et Σ vₙ converge, alors Σ uₙ converge |
| Équivalents | Si uₙ et vₙ sont équivalents, les deux séries ont la même nature |
| Règle de d’Alembert | Si uₙ₊₁/uₙ tend vers L < 1, converge ; si L > 1, diverge |
| Séries alternées | Si uₙ décroît vers 0, u₀ − u₁ + u₂ − … converge |
Sommes célèbres
| Série | Somme |
|---|---|
1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … | e (voir le nombre e) |
1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + … | π/4 (formule de Leibniz-Madhava) |
1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + … | ln 2 (série harmonique alternée) |
1 + x + x²/2! + x³/3! + … | eˣ (série exponentielle) |
x − x³/3! + x⁵/5! − … | sin x |
La formule de Leibniz pour π converge très lentement ; les calculs modernes de décimales de π utilisent des séries beaucoup plus rapides, comme celles de Ramanujan (voir le nombre π). Les séries entières comme celle de eˣ permettent aux calculatrices d’évaluer les fonctions usuelles.
Le cas délicat des séries divergentes
La série 1 − 1 + 1 − 1 + … n’a pas de somme : ses sommes partielles valent alternativement 1 et 0. Les célèbres égalités 1 + 2 + 3 + … = −1/12 n’ont pas de sens au sens usuel : elles résultent de procédés de « sommation » particuliers (prolongement de la fonction zêta) et ne doivent pas être lues comme des additions.
De même, l’ordre des termes compte : en réorganisant une série comme 1 − 1/2 + 1/3 − …, qui converge sans converger absolument, on peut obtenir n’importe quelle somme (théorème de Riemann).
Erreurs fréquentes
- Croire qu’un terme général tendant vers 0 suffit : la série harmonique diverge.
- Appliquer
1/(1 − q)avec q ≥ 1 :1 + 2 + 4 + …ne vaut pas −1. - Oublier le premier terme :
q + q² + … = q/(1 − q). - Réordonner librement les termes d’une série non absolument convergente.
Questions fréquentes
Une somme infinie peut-elle être finie ?
Oui, si les termes diminuent assez vite. 1/2 + 1/4 + 1/8 + … vaut exactement 1.
Pourquoi 0,999… est-il égal à 1 ?
Parce que c’est la somme de la série géométrique 9/10 + 9/100 + …, qui vaut exactement 1. La différence entre les deux nombres serait plus petite que tout nombre positif, donc nulle.
La série harmonique converge-t-elle ?
Non. Elle diverge vers +∞, même si ses termes tendent vers 0, mais très lentement, à la vitesse de ln n.
Quelle différence entre suite et série ?
Une suite est une liste de nombres (uₙ) ; la série associée est la suite des sommes cumulées u₀ + … + uₙ. Étudier une série, c’est étudier la limite de ces sommes.