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Encadrer un nombre
Encadrer un nombre, c’est trouver deux nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand, entre lesquels il se situe. Encadrer 7,38 à l’unité donne 7 < 7,38 < 8 ; au dixième, 7,3 < 7,38 < 7,4.
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L’encadrement est une compétence du cycle 3 (CM1-6e) qui prépare l’arrondi, la valeur approchée et, plus tard, les inéquations et les intervalles. Il répond à une question simple : entre quels nombres « ronds » se trouve un nombre donné ?
Les encadrements usuels
| Encadrement | Amplitude | Exemple pour 2 547,63 |
|---|---|---|
| au millier | 1 000 | 2 000 < 2 547,63 < 3 000 |
| à la centaine | 100 | 2 500 < 2 547,63 < 2 600 |
| à la dizaine | 10 | 2 540 < 2 547,63 < 2 550 |
| à l’unité | 1 | 2 547 < 2 547,63 < 2 548 |
| au dixième | 0,1 | 2 547,6 < 2 547,63 < 2 547,7 |
Méthode pas à pas
- Repérer le rang demandé (unité, dixième, centaine…).
- Borne inférieure : garder les chiffres jusqu’à ce rang et remplacer les suivants par des zéros (ou les supprimer après la virgule). C’est la troncature.
- Borne supérieure : ajouter 1 au chiffre de ce rang dans la borne inférieure.
- Écrire la double inégalité, du plus petit au plus grand.
Exemple : encadrer 13,086 au centième. Borne inférieure 13,08 ; borne supérieure 13,09. Donc 13,08 < 13,086 < 13,09.
Si le nombre est déjà « rond » à ce rang (par exemple 4,5 au dixième), on peut écrire 4,5 ≤ 4,5 < 4,6, ou encadrer strictement au rang supérieur selon la consigne.
Encadrer une fraction ou un quotient
On effectue la division : 17/6 = 2,833…, donc à l’unité 2 < 17/6 < 3, au dixième 2,8 < 17/6 < 2,9. Encadrer une fraction entre deux entiers consécutifs revient à trouver la partie entière : 17 = 6 × 2 + 5, donc 17/6 est compris entre 2 et 3.
Valeurs approchées par défaut et par excès
Les deux bornes d’un encadrement ont un nom :
- la borne inférieure est la valeur approchée par défaut ;
- la borne supérieure est la valeur approchée par excès.
L'arrondi est celle des deux qui est la plus proche : pour 13,086 au centième, c’est 13,09. La fiche arrondir un nombre détaille ces règles.
Intercaler un nombre
Intercaler, c’est trouver un nombre entre deux autres. Entre deux décimaux, il y en a toujours une infinité : on ajoute un chiffre.
- Entre 3,4 et 3,5 : 3,41 ; 3,45 ; 3,499…
- Entre 0,7 et 0,71 : on écrit 0,700 et 0,710, puis on choisit 0,705.
Le milieu de deux nombres est leur moyenne : entre 2 et 3, le milieu est 2,5. Sur une droite graduée, intercaler revient à zoomer entre deux graduations.
Encadrer en estimant un calcul
On peut encadrer un résultat avant de le calculer : 38 × 52 est compris entre 30 × 50 = 1 500 et 40 × 60 = 2 400. Le résultat exact, 1 976, est bien dans cet intervalle. C’est un excellent contrôle des calculs posés.
Erreurs fréquentes
- Écrire les bornes dans le désordre :
8 < 7,38 < 7n’a pas de sens. - Confondre le rang : encadrer au dixième, c’est avec un chiffre après la virgule, pas avec la dizaine.
- Pour un négatif, la troncature donne la borne supérieure :
−2,7s’encadre−3 < −2,7 < −2. - Croire qu’il n’y a rien entre 3,4 et 3,5.
Exercice corrigé
- Encadrer 58,274 à l’unité →
58 < 58,274 < 59; au dixième →58,2 < 58,274 < 58,3; au centième →58,27 < 58,274 < 58,28. - Encadrer 6 381 à la centaine →
6 300 < 6 381 < 6 400. - Encadrer 22/7 au centième :
22 ÷ 7 = 3,1428…→3,14 < 22/7 < 3,15. - Intercaler trois nombres entre 1,2 et 1,21 → par exemple 1,201 ; 1,205 ; 1,209.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre encadrer et arrondir ?
Encadrer donne deux valeurs, l’une en dessous, l’autre au-dessus. Arrondir donne une seule valeur : la plus proche des deux.
Que signifie « encadrer à 10⁻² près » ?
C’est un encadrement d’amplitude 0,01, c’est-à-dire au centième.
Combien de nombres y a-t-il entre deux décimaux ?
Une infinité : entre 3,4 et 3,5, on trouve 3,41, 3,411, 3,4111… Entre deux entiers consécutifs, en revanche, il n’y a aucun autre entier.
Comment encadrer une racine carrée ?
On cherche les carrés parfaits voisins : 25 < 30 < 36, donc 5 < √30 < 6. Voir la racine carrée.