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La suite arithmético-géométrique
Une suite arithmético-géométrique est définie par uₙ₊₁ = a uₙ + b. On l’étudie avec le point fixe ℓ = b/(1 − a) : la suite vₙ = uₙ − ℓ est géométrique de raison a, d’où uₙ = (u₀ − ℓ)aⁿ + ℓ.
Mis à jour le 4 min de lecture
Un capital qui rapporte des intérêts et reçoit un versement fixe chaque année ; un lac qui perd 10 % de ses poissons par an mais en reçoit 500 par alevinage ; un médicament éliminé de moitié chaque jour et repris à dose fixe : toutes ces situations combinent une multiplication et une addition à chaque étape. Elles se modélisent par des suites arithmético-géométriques, très fréquentes dans les exercices de terminale et de BTS. Pour les suites arithmétiques et géométriques simples, voir les suites numériques.
La méthode en quatre étapes
- Chercher le point fixe ℓ, solution de
ℓ = aℓ + b, soitℓ = b/(1 − a). - Poser la suite auxiliaire
vₙ = uₙ − ℓet montrer qu’elle est géométrique de raison a :vₙ₊₁ = uₙ₊₁ − ℓ = a uₙ + b − (aℓ + b) = a(uₙ − ℓ) = a vₙ. - En déduire vₙ :
vₙ = v₀ × aⁿ = (u₀ − ℓ) aⁿ. - Revenir à uₙ :
uₙ = (u₀ − ℓ) aⁿ + ℓ.
Dans les exercices, la suite auxiliaire est souvent donnée par l’énoncé (« on pose vₙ = uₙ − 6 »). Le point fixe est la seule constante qui rend (vₙ) géométrique.
La limite
Elle découle de la limite de aⁿ (voir la limite d’une suite) :
| Valeur de a | Comportement de (uₙ) |
|---|---|
| −1 < a < 1 | Converge vers ℓ, quel que soit u₀ |
| a > 1 et u₀ ≠ ℓ | Diverge vers +∞ (si u₀ > ℓ) ou −∞ (si u₀ < ℓ) |
| a ≤ −1 et u₀ ≠ ℓ | Pas de limite (oscillations) |
| u₀ = ℓ | Constante, égale à ℓ |
Lorsque 0 < a < 1, la suite s’approche de ℓ de façon monotone : croissante si u₀ < ℓ, décroissante si u₀ > ℓ.
Exemple 1 : la population de poissons
Un lac contient 2 000 poissons. Chaque année, 10 % disparaissent, et l’on en réintroduit 500. Avec uₙ le nombre de poissons l’année n : u₀ = 2 000 et uₙ₊₁ = 0,9 uₙ + 500.
- Point fixe :
ℓ = 500/(1 − 0,9) = 5 000. vₙ = uₙ − 5 000, géométrique de raison 0,9, avecv₀ = −3 000.uₙ = 5 000 − 3 000 × 0,9ⁿ.- Après 10 ans :
5 000 − 3 000 × 0,9¹⁰ ≈ 3 954poissons. - À long terme, la population se stabilise vers 5 000 poissons.
Exemple 2 : un médicament
Un patient reçoit 3 mg d’un médicament chaque jour ; l’organisme en élimine 50 % en 24 h. Quantité juste après la prise : u₀ = 3 et uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 3.
ℓ = 3/0,5 = 6,uₙ = 6 − 3 × 0,5ⁿ.- La quantité augmente et se stabilise autour de 6 mg : c’est l’équilibre entre apport et élimination, que les pharmacologues appellent l’état d’équilibre.
Exemple 3 : une épargne avec versements
On place 1 000 € à 3 % par an et l’on ajoute 1 200 € à la fin de chaque année : u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 1,03 uₙ + 1 200.
ℓ = 1 200/(1 − 1,03) = −40 000(point fixe négatif, sans signification concrète mais utile au calcul).uₙ = (1 000 + 40 000) × 1,03ⁿ − 40 000 = 41 000 × 1,03ⁿ − 40 000.- Après 10 ans :
41 000 × 1,03¹⁰ − 40 000 ≈ 15 101 €. - Comme a > 1, le capital croît sans limite (voir les intérêts composés).
Le même modèle, avec un remboursement à la place d’un versement (uₙ₊₁ = 1,03uₙ − M), décrit le capital restant dû d’un emprunt.
Vérifier par récurrence
On peut aussi démontrer directement la formule ou des propriétés (monotonie, majoration) par récurrence. Par exemple, pour l’exemple 2 : si 0 ≤ uₙ ≤ 6, alors 3 ≤ 0,5uₙ + 3 ≤ 6.
Erreurs fréquentes
- Croire que (uₙ) est géométrique : c’est (vₙ) qui l’est.
- Se tromper dans le point fixe :
ℓ = b/(1 − a), pasb/(a − 1). - Écrire
uₙ = u₀ aⁿ + ℓ: il faut(u₀ − ℓ)aⁿ + ℓ. - Oublier de changer le sens de l’inégalité en divisant par ln a quand 0 < a < 1.
Questions fréquentes
Comment reconnaître une suite arithmético-géométrique ?
Sa relation de récurrence est de la forme uₙ₊₁ = a uₙ + b : on multiplie par un nombre fixe puis on ajoute un nombre fixe.
Comment trouver la suite auxiliaire ?
On résout ℓ = aℓ + b pour trouver le point fixe, puis on pose vₙ = uₙ − ℓ, qui est géométrique de raison a.
Vers quoi converge une suite arithmético-géométrique ?
Vers le point fixe b/(1 − a) si −1 < a < 1. Sinon, elle diverge (sauf si elle part du point fixe).
Où trouve-t-on ces suites dans la vie réelle ?
Dans l’épargne avec versements réguliers, les remboursements d’emprunt, la gestion de populations animales, la pharmacologie et les modèles d’évolution d’abonnés.